Четверта проблема Гільберта

Простір Мінковського

Нехай ${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n}}$ — компактна замкнена опукла гіперповерхня в евклідовому просторі, задана неявно

${\displaystyle F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\}.}$

Нехай функція ${\displaystyle F=F(y)}$ задовольняє умовам:

1. ${\displaystyle F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0}$;
2. ${\displaystyle F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0}$;
3. ${\displaystyle F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}$;
4. ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0}$.

Задамо довжину вектора OA в просторі Мінковського наступним чином:

${\displaystyle ||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.}$

Простір з такою метрикою називається простором Мінковського.

Гіперповерхня ${\displaystyle F_{0}}$ може бути нерегулярною опуклою поверхнею. Метрика, що задається таким чином, є плоскою.

Нехай M — гладкий многовид скінченної вимірності, ${\displaystyle (x,y)\in TM}$ — дотичне розшарування. Функція ${\displaystyle F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )}$ буде фінслеровою метрикою, якщо

1. ${\displaystyle F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}$;
2. Для будь-якої точки ${\displaystyle x\in M}$, обмеження функції ${\displaystyle F(x,y)}$ на ${\displaystyle T_{x}M}$ є нормою Мінковського.

Тоді ${\displaystyle (M,F)}$ називається фінслеровим простором.

Метрика Гільберта

Нехай ${\displaystyle U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })}$ — обмежена відкрита опукла множина з краєм ${\displaystyle \partial U}$ класу гладкості C² та додатними нормальними кривинами. Так само, як і для простору Лобачевського, гіперповерхню ${\displaystyle \partial U}$ називають абсолютом геометрії Гільберта.[6]

Метрика Гільберта

${\displaystyle d_{U}(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E}}{\|q-p_{1}\|_{E}}}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E}}{\|p-q_{1}\|_{E}}}.}$

Фінслерова метрика Гільберта

Поверхня ${\displaystyle d_{U}}$ індукує фінслерову метрику Гільберта ${\displaystyle F_{U}}$ на U для довільних ${\displaystyle x\in U}$ та ${\displaystyle y\in T_{x}U}$ (див. малюнок)

${\displaystyle F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x-x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).}$

Ця метрика також є плоскою.

Давід Гільберт увів її в розгляд у 1895 році як узагальнення метрики геометрії Лобачевського. У випадку, коли гіперповерхня ${\displaystyle \partial U}$ є еліпсоїдом, отримуємо геометрію Лобачевського.

В 1930 році Функ увів у розгляд несиметричну метрику, яка задається в області обмеженій замкненою опуклою гіперповерхнею і також є плоскою.

Перший внесок в рішення IV проблеми Гільберта зробив Гамель. Він довів наступне твердження.[3]

Теорема. Регулярна фінслерова метрика ${\displaystyle F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})}$ є плоскою тоді, і тільки тоді, коли виконуються умови

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{j}\partial y^{i}}},\,i,j=1..n.}$

Розглянемо множину орієнтованих прямих на площині. Пряма задається параметрами ${\displaystyle \rho ,\varphi ,}$ де ${\displaystyle \rho }$ — відстань до прямої від початку координат, а ${\displaystyle \varphi }$ — кут, який утворює пряма з віссю Ox. Тоді множина орієнтованих прямих гомеоморфна круговому циліндру одиничного радіуса з елементом площі ${\displaystyle dS=d\rho d\varphi }$. Нехай ${\displaystyle \gamma }$ — спрямна крива на площині. Тоді її довжина

${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi }$

де ${\displaystyle \Omega }$ — множина прямих, які перетинають цю криву, ${\displaystyle n(p,\varphi )}$ — число перетинів прямої з кривою. Це встановив М. Крофтон в 1870 році.[7]

Аналогічне твердження виконується і в проективному просторі.

У 1966 році Г. Буземан у доповіді на Міжнародному конгресі математиків в Москві, ввів у розгляд новий клас плоских метрик. Він увів на множині прямих проективної площині ${\displaystyle RP^{2}}$ цілком адитивну невід'ємну міру ${\displaystyle \sigma }$, яка задовольняє таким умовам:

1. ${\displaystyle \sigma (\tau P)=0}$, де ${\displaystyle \tau P}$ — множина прямих, що проходять через точку P;
2. ${\displaystyle \sigma (\tau X)>0}$, де ${\displaystyle \tau X}$ — множина прямих, що проходять через деяку множину X, яка містить відрізок прямої;
3. ${\displaystyle \sigma (RP^{n})}$ скінченна.

Якщо розглянути ${\displaystyle \sigma }$-метрику, яка задається в довільній опуклій області ${\displaystyle \Omega }$ проективного простору ${\displaystyle RP^{2}}$, то умова 3) замінюється вимогою, щоб для будь-якої множини H, — підмножини ${\displaystyle \Omega }$, замикання H не перетинається з краєм області ${\displaystyle \Omega }$, виконувалась умова

${\displaystyle \sigma (\pi H)<\infty }$.[8]

За допомогою такої міри визначається ${\displaystyle \sigma }$-метрика в ${\displaystyle RP^{2}}$:

${\displaystyle |x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),}$

де ${\displaystyle \tau [x,y]}$ — множина прямих, які перетинаються відрізок ${\displaystyle [x,y]}$.

Нерівність трикутника для цієї метрики випливає з теореми Паша.

Теорема. ${\displaystyle \sigma }$-метрика в ${\displaystyle RP^{2}}$ є плоскою метрикою, тобто, геодезичні в цій метриці є прямими проективного простору.

Але Буземан був далеким від думки, що ${\displaystyle \sigma }$-метрики вичерпують геть усі плоскі метрики. Він писав: «… Свобода у виборі метрик при заданні геодезичних у випадку неріманових метрик настільки велика, що можна сумніватися, чи дійсно існує переконлива характеристика всіх дезаргових просторів …»[8]

Дивовижною виявилась теорема, доведена в 1973 році О. В. Погорєловим.[9][10]

Теорема. Будь-яка двовимірна неперервна повна плоска метрика є ${\displaystyle \sigma }$-метрикою.

Тим самим, IV проблема Гільберта для двовимірного випадку була повністю розв'язана.

У 1976 році Р. Б. Амбарцумян запропонував інше розв'язання IV проблеми Гільберта.[11] Його доведення пов'язано з тим, що в двовимірному випадку міра повністю відновлюється за її значеннями на двокутниках. І тоді вона задається на трикутниках подібно до того, як задається площа трикутника на сфері через кути. На невироджених трикутниках вона додатна, бо виконується нерівність трикутника, після чого міра визначається на всіх борелівських множинах. Але ця конструкція не узагальнюється за розмірністю. Це пов'язано з III проблемою Гільберта, яку вирішив М. Ден. У двовимірному випадку рівновеликі багатокутники є рівноскладеними. У більших вимірностях М. Ден показав, що це не виконується.