Щільний порядок

Щільною впорядкованою множиною є дійсні числа і раціональні числа зі звичайним порядком. З іншого боку, звичайний порядок цілих чисел щільним не є.

Георг Кантор довів, що дві будь-які щільні лінійно впорядковані зліченні множини без нижньої і верхньої меж ізоморфні відносно впорядкування[2]. Зокрема, існує ізоморфізм зі збереженням порядку між раціональними числами та іншими щільними зліченними множинами, включно з двійково-раціональними числами й алгебричними числа. У методі підбору[3] використовується доведення цього результату.

Для визначення ізоморфізмів порядку між квадратичними алгебричними числами і раціональними числами, а також між раціональними числами і двійково-раціональними числами можна використати функцію Мінковського.

Бінарне відношення R вважається щільним, якщо для всіх пов'язаних відношенням R x і y, є z, таке що x і z, а також z і y пов'язані відношенням R. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$

У термінах суперпозиції відношень R із собою, умову щільності можна альтернативно виразити як ${\displaystyle R\subseteq RR}$[4].

Достатніми умовами до того, що бінарне відношення R на множині X матиме щільний порядок, є випадки коли:

• R рефлексивне;
• R корефлексивне ;
• R квазірефлексивне ;
• R ліво- або право- евклідове;
• R симетричне і напівконексне і X має ${\displaystyle \geqslant 3}$ елементів.

Жодна з них не є необхідною. Непорожнє щільне відношення не може бути антитранзитивним.

Строго частковий порядок < є щільним порядком тоді і тільки тоді, коли < є щільним відношенням. Щільне відношення є ідемпотентним відношенням, коли воно також транзитивне.

• Щільна множина
• Щільна в собі підмножина
• Семантика Кріпке — щільне відношення досяжності, яке відповідає аксіомі ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
• Judith Roitman. Theorem 27, p. 123 // Introduction to Modern Set Theory. — John Wiley & Sons, 1990. — Т. 8. — (Pure and Applied Mathematics) — ISBN 9780471635192.
• Abhijit Dasgupta. Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets. — Springer-Verlag, 2013. — ISBN 9781461488545.
• Gunter Schmidt. Relational Mathematics. — Cambridge University Press, 2011. — ISBN 978-0-521-76268-7.
• David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic logic. — MIT Press, 2000. — С. 6ff. — ISBN 0-262-08289-6.