Ін'єктивний об'єкт

Ін'єктивний об'єкт теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.

Означення

Об'єкт Q є ін'єктивним, якщо для мономорфізму f : XY, довільний морфізм g : XQ можна продовжити до Y.

Об'єкт категорії називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма і будь-якого мономорфізма існує (не обов'язково єдиний) морфізм для якого .

У локально малих категоріях, об'єкт є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom переводить мономорфізми у у сюр'єктивні відображення множин.

Досить багато ін'єктивних об'єктів

Кажуть, що в категорії досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта категорії існує мономорфізм в ін'єктивний об'єкт .

Ін'єктивна оболонка

Мономорфізм категорії називається істотним, якщо для будь-якого морфізма композиція є мономорфізмом, тільки якщо є мономорфізмом.

Якщо  — істотний мономорфізм і об'єкт є ін'єктивним, то називається ін'єктивною оболонкою . Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.

Випадок абелевих категорій

Якщо  — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom є точним.

Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду

є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто є ізоморфним прямій сумі .

Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності точною є лише послідовність Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма існував морфізм для якого де  — морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.
Якщо є ін'єктивним об'єктом і  — одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма існує морфізм такий що Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності
Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється,  — мономорфізм і  — довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму для якого є еквівалентним існуванню морфізма для якого У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності : Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм існує.

Як і кожен контраваріантний адитивний функтор є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта

Властивості

  • Нехай  — добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі є ін'єктивними.
  • Будь-який ін'єктивний підоб'єкт об'єкта є його прямим доданком.
  • Якщо  — абелеві категорії і  — функтор спряжений до точного функтора то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії
  • Нехай  — абелеві категорії і  — функтор спряжений справа до функтора Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії і у є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
  • Якщо є ін'єктивними оболонками об'єктів відповідно, то є ін'єктивною оболонкою
  • Якщо є ін'єктивними оболонками об'єкта то вони є ізоморфними.

Приклади

  • У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
  • Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
  • Нехай p — просте число. Нехай  — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду Тоді у категорії абелевих груп є ін'єктивною оболонкою для всіх груп  коренів з одиниці степеня
  • У категорії модулів ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
  • В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
  • Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.

Узагальнення

об'єкт Q є H-ін'єктивним якщо для h : AB із класу H, для будь-якого f : AQ існує комутативна діаграма.

Нехай є категорією і  клас морфізмів у .

Об'єкт категорії називається -ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма і кожного морфізма з класу існує морфізм для якого .

Якщо є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.

Категорія має досить багато -ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії , існує -морфізм із X у -ін'єктивний об'єкт.

-морфізм g у називається -істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу лише якщо f належить класу .

Якщо g є -істотним морфізмом із X у -ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.

Див. також

Література

  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Tennison, B. R. (1975). Sheaf theory. Cambridge University Press. MR 0404390.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.