Ін'єктивний об'єкт
Ін'єктивний об'єкт — теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.
Означення
Об'єкт категорії називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма і будь-якого мономорфізма існує (не обов'язково єдиний) морфізм для якого .
У локально малих категоріях, об'єкт є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom переводить мономорфізми у у сюр'єктивні відображення множин.
Досить багато ін'єктивних об'єктів
Кажуть, що в категорії досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта категорії існує мономорфізм в ін'єктивний об'єкт .
Ін'єктивна оболонка
Мономорфізм категорії називається істотним, якщо для будь-якого морфізма композиція є мономорфізмом, тільки якщо є мономорфізмом.
Якщо — істотний мономорфізм і об'єкт є ін'єктивним, то називається ін'єктивною оболонкою . Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.
Випадок абелевих категорій
Якщо — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom є точним.
Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду
є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто є ізоморфним прямій сумі .
- Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності точною є лише послідовність Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма існував морфізм для якого де — морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.
- Якщо є ін'єктивним об'єктом і — одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма існує морфізм такий що Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності
- Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється, — мономорфізм і — довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму для якого є еквівалентним існуванню морфізма для якого У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності : Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм існує.
Як і кожен контраваріантний адитивний функтор є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта
Властивості
- Нехай — добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі є ін'єктивними.
- Будь-який ін'єктивний підоб'єкт об'єкта є його прямим доданком.
- Якщо — абелеві категорії і — функтор спряжений до точного функтора то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії
- Нехай — абелеві категорії і — функтор спряжений справа до функтора Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії і у є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
- Якщо є ін'єктивними оболонками об'єктів відповідно, то є ін'єктивною оболонкою
- Якщо є ін'єктивними оболонками об'єкта то вони є ізоморфними.
Приклади
- У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
- Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
- Нехай p — просте число. Нехай — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду Тоді у категорії абелевих груп є ін'єктивною оболонкою для всіх груп — коренів з одиниці степеня
- У категорії модулів ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
- В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
- Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.
Узагальнення
Нехай є категорією і — клас морфізмів у .
Об'єкт категорії називається -ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма і кожного морфізма з класу існує морфізм для якого .
Якщо є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.
Категорія має досить багато -ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії , існує -морфізм із X у -ін'єктивний об'єкт.
-морфізм g у називається -істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу лише якщо f належить класу .
Якщо g є -істотним морфізмом із X у -ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.
Див. також
Література
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Tennison, B. R. (1975). Sheaf theory. Cambridge University Press. MR 0404390.