Виділення квадрату

Формула з елементарної алгебри для обчислення квадрата двочлена:

${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$

У будь-якому повному квадраті, коефіцієнт біля х у два рази перевищує число p, а вільний член дорівнює p².

Розглянемо наступний квадратний поліном:

${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$

Він не є повним квадратом, оскільки 28 не квадрат числа 5:

${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$

Однак, можна цей тричлен представити у вигляді суми повного квадрату і числа:

${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$

Це і називається виділенням повного квадрату.

Розглянемо довільний квадратний тричлен з коефіцієнтом при старшому члені 1 (нормований тричлен):

${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$

а також квадрат двочлена

${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$

Ці тричлени відрізняються тільки на сталу величину — в них різні вільні члени. Таким чином, ми можемо написати

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$

де ${\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}$. Така операція називається виділенням квадрату. Наприклад:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$

Розглянемо квадратний тричлен вигляду

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

Винесемо коефіцієнт при старшому члені за дужки, отримаємо випадок, описаний вище.

Приклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$

Це дозволяє нам представити довільний квадратний тричлен у формі

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$

Для виділення повного квадрату можна використовувати формули. Для загального випадку:[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{та}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$

Зокрема, коли а = 1:

${\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$

Матричний вигляд дуже схожий:

${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$

де ${\displaystyle A}$ має бути симетричною.

Якщо ${\displaystyle A}$ не симетрична, формули ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle k}$ мають такий вигляд:

${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

На відміну від методів, пов'язаних з розкладанням рівняння на множники, яке є надійним, тільки якщо корені раціональні, виділенням квадрату знайдемо корені квадратного рівняння навіть якщо ці корені є ірраціональними або комплексними. Наприклад, розглянемо рівняння

${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$

Виділення квадрата дає

${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$

отже

${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$

Потім

${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{або}}\quad x-5={\sqrt {7}},}$

Лаконічніше:

${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}}.}$

Отже,

${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$

Рівнянь з комплексними коренями можуть бути розв'язані таким же чином. Наприклад:

${\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}$

Для незведених квадратних рівнянь першим кроком до їх розв'язання є розділити на коефіцієнт при х². Наприклад:

${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$

Виділення квадрату може бути використане для обчислення інтегралів виду

${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$

з використанням основних інтегралів

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{і}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$

Наприклад, розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$

Виділення квадрата в знаменнику дає:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$

Це може бути обчислено з допомогою підстановки у = х + 3, яка дає ${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$

Розглянемо вираз

${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$

де z і b є комплексними числами, z^* і b^* є комплексно спряжені до z, та b, відповідно, а c — це дійсне число. Використовуючи властивість |у|² = уу^* , ми можемо переписати вираз як

${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$

що має дійсне значення. Це відбувається тому, що

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$

Розглянемо інший приклад, вираз

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$

де a, b, c, x і y — дійсні числа, причому а > 0 і b > 0, може бути виражена як квадрат абсолютного значення комплексного числа. Визначимо

${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$

Тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$

отже,

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$

Матриця М є ідемпотентною, якщо М ² = М. Ідемпотентні матриці узагальнюють ідемпотентні властивості 0 і 1. Виділення квадрату в рівнянні

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

показує, що деякими ідемпотентними 2 × 2 матрицями параметризують коло в (А, B)-площині.

Матриця ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ буде ідемпотентом за умови ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ що, при виділенні квадрату стає

${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$

В (А, B)-площині — це рівняння кола з центром у точці (1/2, 0) і радіусом 1/2.

Написавши

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

ми бачимо, що сума числа х і оберненого до нього числа завжди більше або дорівнює 2. Квадрат виразу завжди більше або дорівнює нулю, коли х дорівнює 1.

Розглянемо проблему розкладання на множники многочлена

${\displaystyle x^{4}+324.}$

Запишемо його у вигляді

${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$

тому середній член 2(х²)(18) = 36х². Таким чином, ми отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{різниця квадратів двох виразів}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$