Інтеграл Гауса

Стандартний спосіб обчислення інтеграла Гаусса, що був запропонований Пуассоном, базується на використанні наступної властивості:[3] базується на використанні наступної властивості:

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.}$

Розглянемо функцію ${\displaystyle e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-r^{2}}}$ у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, та обчислимо інтеграл від неї двома способами.:

1. З однієї сторони, як подвійний інтеграл в декатровій системі координат, він дорівнює квадрат інтеграла Гаусса:

   ${\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}$

2. З іншої сторони, за допомогою методу знаходження об'єму тіла обертання (випадок подвійного інтеграла у полярних координатах), цей інтеграл дорівнює ${\displaystyle \pi }$

З цих двох обчислень отримаємо шукане значення для інтеграла Гаусса, хоча при цьому слід подбати про відповідні невласні інтеграли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}$

де множник r-якобіан, який з'являється при переході до полярних координат у подвійному інтегралі (r dr dθ - стандартна міра на площині записана в полярних координатах , і інтегрування включає заміну s = −r², а тому ds = −2r dr.

Таким чином,

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}$

Тоді:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$.

Для обґрунтування невласних подвійних інтегралів та прирівнювання двох співвідношень, розпочнемо з апроксимуючої функції:

${\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.}$

Якби інтеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

був би абсолютно збіжним, то ми б отримали головне значення інтеграла за Коші,тобто границя

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$

співпадала б з інтегралом

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Щоб побачити це врахуємо, що

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .}$

Таким чином, для обчислення інтеграла

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

потрібно знайти границю

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$.

Підносячи ${\displaystyle I(a)}$ до квадрату, отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}(a)&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\,dx.\end{aligned}}}$

Використовуючи теорему Фубіні, вищевказаний подвійний інтеграл можна розглядати як поверхневий інтеграл

${\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y),}$

взятий над квадратом з вершинами {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} на площині xy.

Оскільки, для всіх дійсних чисел, експоненціальна функція більша за 0, то звідси випливає, що інтеграл, взятий над вписаним кругом, повинен бути меншим за ${\displaystyle I(a)^{2}}$, і аналогічно інтеграл, взятий над описаним кругом, повинен бути більшим ніж ${\displaystyle I(a)^{2}}$. Інтеграли над двома кругами легко обчислити, перейшовши від декартової системи координат до полярної системи координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .}$

(Див. Полярні координати з декартових координат щодо відповідних перетворень.)

Після інтегрування отримуємо

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}$

За теоремою про двох поліцейських, отримаємо значення інтеграла Гаусса:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Інша техніка, яка сходить до Лапласа (1812),[3] , полягає в наступному. Покладемо

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}}$

Оскільки границі відносно s приy → ±∞ , залежать від знаку x, то для спрощення обчислень використовуємо той факт, що e^−x2 є парною функцією і, отже, інтеграл на множині всіх дійсних чисел удвічі більший ніж інтеграл від нуля до нескінченності:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Таким чином, при x ≥ 0, для змінних y and s маємо однакові границі. Тобто,

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{-2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2{\Big [}\arctan s{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}$

Отже, як і очікувалося, ${\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}$.

Результатом обчислення інтеграла довільної функції Гаусса є

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$

Альтернативною формою є

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.}$

Ця форма корисна для обчислення математичних сподівань деяких неперервних розподілів, пов'язаних із нормальним розподілом, наприклад, для логнормального розподілу.

Припустимо, A - симетрична, додатньо визначена (отже, має обернену) матриця n × n яка є оберненою до коваріаційної матриці. Тому,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}}$

де інтеграл розуміється над Rⁿ. Цей факт застосовується при дослідженні багатовимірного нормального розподілу. Також

${\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}$

де σ - перестановка множин {1, ..., 2N}, а додатковий коефіцієнт у правій частині -

це сума за всіма комбінаторними парами множини {1, ..., 2N} з N копій матриці A−1.

Крім того,[4]

${\displaystyle \int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}}$

для деякої аналітичної функції f, за умови, що вона задовольняє деяким відповідним обмеженням щодо свого зростання та деяким іншим технічним критеріям. (Для деяких функцій вона працює, наприклад, для поліномів. А для деяких - ні.) Піднесення до степеня диференціальним оператором розуміється в сенсі степеневих рядів.

Хоча функціональні інтеграли не мають чіткого означення (або навіть їх неможливо строго обчислити в більшості випадків),

проте ми можемо визначити функціональний інтеграл Гаусса аналогічно скінченновимірному випадку. Але проблема все ж залишається, оскільки ${\displaystyle (2\pi )^{\infty }}$ є нескінченністю, а також функціональний детермінант буде нескінченним у загальному випадку. Проте це можна обійти, якщо розглянути відношення:

${\displaystyle {\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).}$

В позначеннях ДеВіта це співвідношення виглядає аналогічно скінченновимірному випадку.

Якщо A знову є  симметричною, додатньо визначеною  матрицею, тоді (при умові, що всі вектори є вектор-стовпцями):

${\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}}$

Де ${\displaystyle n}$ - натуральне число, ${\displaystyle$ !!} - подвійний факторіал.

Простий спосіб їх отримання --- це диференціювання під знаком інтеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}$

Також можна використовувати інтегрувати частинами та знайти відповідне рекурентне співвідношення.

Використання лінійної заміни базису показує, що інтеграл експоненти, в степені якої однорідний многочлен від n - змінних, може залежати тільки від ${\displaystyle SL(n)}$ - інваріантів многочлена. Одним з таких інваріантів є дискримінант, нулі якого позначають особливості інтеграла. Проте інтеграл також може залежати від других інваріантів.

Експоненту, в степені якої другі парні многочлени, можна чисельно обчислити за допомогою рядів.

Вони можуть бути інтерпритовані як формальные обчислення, коли немає збіжності. Наприклад, обчислення інтеграла від експоненти, в степені якої поліном четвертого порядку, має вигляд:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.}$

Вимога до того, щобn + p = 0 та те, що остача від ділення дорівнює 2 (mod 2) полягає в тому, що інтеграл від −∞ до 0 дає множник (−1)^n+p/2, а інтеграл від 0 до +∞ дає множник 1/2 кожного разу.

Ці інтеграли з'являються в таких областях, як квантова теорія поля.