Геометричне перетворення

У математиці геометричне перетворення - це будь-яка бієкція множини до себе (або до іншої такої множини) з деякою помітною геометричною основою.[1] Більш конкретно, це функція, домен і діапазон якої є наборами точок - найчастіше обома або обидва - така, що функція є ін'єктивною, щоб існувала її обернена . [2] До вивчення геометрії можна підходити шляхом вивчення цих перетворень. [3]

Геометричні перетворення можна класифікувати за розмірністю їх наборів операндів (таким чином розрізняючи, скажімо, площинні перетворення та просторові перетворення). Їх також можна класифікувати за властивостями, які вони зберігають:

Кожен із цих класів містить попередній. [8]

  • Оригінальне зображення (на основі карти Франції)
  • Ізометрія
  • Подібність
  • Афінне перетворення
  • Проективна трансформація
  • інверсія
  • Дифеоморфізми (bidifferentiable перетворення) є перетворенням, як афінні в першому порядку; вони містять попередні як особливі випадки і можуть бути додатково уточнені. [9]
  • Конформні перетворення зберігають кути і є, у першому порядку, подібністю.
  • Еквіаріальні перетворення, збереження площ у площинному випадку або об’ємів у тривимірному випадку. і є, у першому порядку, афінними перетвореннями детермінанти 1.
  • Гомеоморфізми (двосторонні перетворення) зберігають околиці точок.
  • Конформне перетворення
  • Еквіаріальна трансформація
  • Дифеоморфізм
  • Гомеоморфізм

Перетворення одного типу утворюють групи, які можуть бути підгрупами інших груп перетворень.

Протилежні групові дії

Багато геометричних перетворень виражаються за допомогою лінійної алгебри. Бієктивні лінійні перетворення (бієкція) - це елементи загальної лінійної групи . Лінійне перетворення A не є особливим. Для вектора рядків v матричний добуток vA дає інший вектор рядка w = vA .

Транспонування вектора рядка v є вектором стовпця v T, а транзакція вищевказаної рівності - Тут A T забезпечує ліву дію на вектори стовпців.

У геометрії перетворень є композиції AB . Починаючи з вектора рядка v, правильною дією складеного перетворення є w = vAB . Після транспонування

Таким чином, для AB пов'язана дія лівої групи є При вивченні протилежних груп розрізняють дії протилежних груп, оскільки єдиними групами, для яких ці протилежності рівні, є комутативні групи.

Примітки

Літератури
  1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Transformation. Math Vault (амер.). 1 серпня 2019. Процитовано 2 травня 2020.
  2. Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
  3. Venema, Gerard A. (2006). Foundations of Geometry. Pearson Prentice Hall. с. 285. ISBN 9780131437005.
  4. Geometry Translation. www.mathsisfun.com. Процитовано 2 травня 2020.
  5. Geometric Transformations — Euclidean Transformations. pages.mtu.edu. Процитовано 2 травня 2020.
  6. Transformations. www.mathsisfun.com. Процитовано 2 травня 2020.
  7. Geometric Transformations — Affine Transformations. pages.mtu.edu. Процитовано 2 травня 2020.
  8. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – Geometric transformation, p. 182, at Google Books
  9. stevecheng (13 березня 2013). first fundamental form (PDF). planetmath.org. Процитовано 1 жовтня 2014.

Для ознайомлення
  • Adler, Irving (2012) [1966]. A New Look at Geometry. Dover. ISBN 978-0-486-49851-5.978-0-486-49851-5
  • Дієнес, З.П . ; Golding, EW (1967). Геометрія через трансформації (3 т. ): Геометрія спотворень, Геометрія конгруентності та Групи та координати . Нью-Йорк: Гердер і Гердер.
  • Девід Ганс - Трансформації та геометрії .
  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (вид. 2nd). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.0-8284-1087-9
  • Джон Макклірі - Геометрія з диференційованої точки зору .
  • Модєнов, П.С .; Пархоменко, А.С. (1965). Геометричні перетворення (2 т. ): Евклідові та афінні перетворення та проективні перетворення . Нью-Йорк: Академічна преса.
  • А. Н. Преслі - Елементарна диференціальна геометрія .
  • Яглом, І.М. (1962, 1968, 1973, 2009). Геометричні перетворення (4 т. ). Випадковий будинок (I, II та III), MAA (I, II, III та IV).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.