Диференціальна алгебра
Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються кільця, поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє правилу добутку. Природний приклад диференціального поля — поле раціональних функцій однієї комплексної змінної , операції диференціювання відповідає диференціювання по .
Диференціальні кільця
Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий ендоморфізм (диференціювання)
що задовольняє правило
для будь-яких . В некомутативному кільці правило може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо — множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд
де - відображення пари у пару .
Властивості
- Якщо x1, x2, … ,xn ∈ A тоді виконується:
- У випадку комутативного кільця з попереднього випливає
- Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a-1 справедлива рівність:
- . Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді: .
- Якщо кільце має одиницю то .
- Нехай і т. д. Тоді:
- Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з випливає . За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному фактор-кільцю. Гомоморфізм називається диференціальним, якщо для довільного виконується рівність , де — диференціювання відповідно в кільцях R і R'.
- Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.
Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.
Диференціальні поля
Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі
оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути дистрибутивно щодо додавання:
Полем констант диференціального поля називається .
Диференціальні алгебри
Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких і :
У безіндексній формі запису, якщо - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то
Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких і :
і
Диференціювання в алгебрі Лі
Диференціювання алгебри Лі — лінійне відображення , що задовольняє правилу Лейбніца:
Для будь-якого — диференціювання на , що виходить з тотожності Якобі. Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.
Приклади
Якщо — алгебра з одиницею, то , оскільки . Наприклад, в диференціальних полях характеристики 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.
Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.
У полі існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю : з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по . Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що
У диференціальному полі немає розв'язку диференціального рівняння , але можна розширити його до поля, що містить функцію , що має розв'язок цього рівняння.
Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається диференціально замкнутим полем. Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої потужності) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в диференціальної теорії Галуа.
Природні приклади диференціювань — часткові похідні, похідні Лі, похідна Піншерле і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.
Кільце псевдодиференціальних операторів
Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця псевдодиференціальних операторів над ними:
Множення в цьому кільці визначається як
Тут — біноміальний коефіцієнт. Відзначимо тотожність
наступне
і
Градуйоване диференціювання
Нехай — градуйована алгебра — однорідне лінійне відображення . називається однорідною похідною, якщо , при дії на однорідні елементи . Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим .
Якщо , визначення збігається із звичайним диференціюванням.
Якщо , то , для непарних . Такі ендоморфізми називаються антипохідними.
Приклади антипохідних — зовнішня і внутрішня похідна диференціальних форм.
Градуйовані похідні супералгебр (тобто -градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.
Література
- Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994