Максимальна функція Гарді — Літлвуда

Оператор M є обмеженим як сублінійний оператор із L^p(R^d) у себе для p > 1. Якщо f ∈ L^p(R^d) тоді максимальна функція Mf є слабко L¹-обмеженою і Mf ∈ L^p(R^d). Для формального твердження теореми позначимо для простоти як {f > t} множину {x | f(x) > t}. Тоді:

Теорема (Слабка оцінка). Для d ≥ 1 і f ∈ L¹(R^d), існує константа C_d > 0 така, що для всіх λ > 0:

${\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

Із використанням цієї нерівності і теореми Марцинкевича можна отримати сильніше твердження:

Теорема (Сильна оцінка). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ і f ∈ L^p(R^d),

існує константа C_p,d > 0 для якої

${\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

Найкращі значення для константи C_p,d не є відомими.[1] Проте Штейн із використанням метода Зигмунта — Кальдерона довів таку теорему:

Теорема (незалежність від розмірності). Для 1 < p ≤ ∞ можна вибрати C_p,d = C_p незалежно від розмірності d.[1][2]

Для p = ∞, нерівність є тривіальною (оскільки середнє значення функції є не більшим ніж її істотний супремум). Для 1 < p < ∞ використовується версія леми Віталі про покриття для доведення слабкої оцінки:

Лема. Нехай X — сепарабельний метричний простір і ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — сім'я відкритих куль обмеженого діаметра. Тоді у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ існує не більш, ніж зліченна підмножина ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ усі елементи якої не перетинаються між собою і також

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B}$

де 5B для кулі B позначає кулю з тим же центром і радіусом в 5 раз більшим.

Якщо Mf(x) > t, тоді, за означенням, можна знайти кулю B_x з центром у точці x для якої

${\displaystyle \int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.}$

Згідно леми, серед таких куль можна знайти послідовність куль B_j, що не перетинаються між собою і для яких кулі 5B_j покривають множину {Mf > t}. Звідси також:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.}$

Це завершує доведення слабкої оцінки. Далі із неї доводяться оцінки для L^p. Введемо функцію b задану як b(x) = f(x), якщо |f(x)| > t/2 і 0 в іншому разі. Застосувавши слабку оцінку до функції b одержуємо:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,}$

де C = 5^d. Тоді

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt}$

Згідно оцінки вище маємо:

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}}$

де константа C_p залежить лише від p і d. Це завершує доведення теореми.

Константу ${\displaystyle C=5^{d}}$ у доведенні можна покращити до ${\displaystyle 3^{d}}$ використовуючи внутрішню регулярність міри Лебега і скінченну версію леми Віталі про покриття.

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда застосовується зокрема для доведення таких тверджень:

• Теорема Лебега про диференціювання
• Теорема Радемахера

Найменші значення констант C_p,d і C_d є невідомими.

Є кілька варіантів максимального оператора Гарді — Літлвуда у означенні яких замість куль із центром у вказаній точці використовуються інші сім'ї множин. Наприклад можна розглядати оператор

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy}$

де кулі B_x мають містити точку x, але x може не бути центром таких куль. Іншим прикладом є діадичний максимальний оператор

${\displaystyle M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy}$

де Q_x позначає діадичні куби, що містять точку x. Обидва ці оператори задовольняють максимальну нерівність Гарді — Літлвуда.

1. Tao, Terence. Stein’s spherical maximal theorem. What's New. Процитовано 22 травня 2011.
2. Stein, E. M. (S 1982). The development square functions in work A. Zygmund.. Bulletin American Mathematical Society. New Series 7 (2): 359–376. doi:10.1090/s0273-0979-1982-15040-6.

• Katznelson, Yitzhak (2004). An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83829-0.
• Schilling, René L. (2005). Measures, Integrals and Martingales. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52185-015-5. MR 2200059. Zbl 1084.28001.
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005