Нормальна сім'я функцій

Нехай ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},\mathbb {C} ^{m}}$ — багатовимірні комплексні простори із стандартною метрикою заданою евклідовою нормою. Тобто, якщо ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$ і ${\displaystyle w=(w_{1},...,w_{n})}$ дві точки простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ то ${\displaystyle d(z,w)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-w_{i})({\overline {z_{i}-w_{i}}})}}}$.

Нехай ${\displaystyle S}$ — деяка сім'я голоморфних відображень з ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ у ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, тобто композиція цих відображень із координатними функціями є голоморфними функціями багатьох комплексних змінних.

Сім'я відображень ${\displaystyle S}$ називається нормальною, якщо у вказаних метриках довільна послідовність відображень з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах. В цьому випадку граничним відображенням теж є голоморфне відображення. Тому означення нормальної сім'ї можна сформулювати по-іншому:

нормальна сім'я голоморфних відображень в області — сім'я ${\displaystyle S}$ голоморфних відображень ${\displaystyle f(z)}$ комплексних змінних ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$ в області ${\displaystyle D}$ простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1}$, така, що з будь-якої послідовності відображень з ${\displaystyle S}$ можна виділити підпослідовність ${\displaystyle \{f_{\nu }(z)\}}$, що рівномірно збігається на компактних підмножинах ${\displaystyle D}$ до голоморфного відображення.

Сім'я ${\displaystyle S}$ називається нормальною сім'єю в точці ${\displaystyle z_{0}\in D}$, якщо ${\displaystyle S}$ є нормальною в деякій кулі з центром в точці ${\displaystyle z_{0}}$. Сім'я ${\displaystyle S}$ є нормальною в області ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли вона є нормальною в кожній точці ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Будь-яка компактна сім'я голоморфних функцій є нормальною; обернене твердження є невірним.

Одним з головним критерієм нормальності у цьому випадку є теорема Монтеля:

Нехай ${\displaystyle S}$ — сім'я голоморфних відображень на відкритій підмножині ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$. Якщо всі ці відображення є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини ${\displaystyle K\subseteq U}$ існує дійсне число ${\displaystyle M=M_{K}}$, таке що для всіх ${\displaystyle z\in K}$ і всіх ${\displaystyle f_{\alpha }\in S}$ справедливою є нерівність ${\displaystyle |f_{\alpha }(z)|\leqslant M}$, де норма є евклідовою нормою простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$. Тоді сім'я функцій ${\displaystyle S}$ є нормальною.

Іншим важливим випадком при вивченні голоморфних функцій є коли на комплексній площині задана сферична або хордальна метрики. Ці метрики задаються на розширеній комплексній площині і завдяки її інтерпретації як сфери (сфери Рімана) через стереографічну проекцію. Тоді для двох точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ розширеної комплексної площини у хордальній метриці відстань ${\displaystyle \xi (z_{1},z_{2})}$ дорівнює евклідовій відстані між цими точками як точками на сфері Рімана у тривимірному просторі, а у сферичній метриці відстань ${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})}$ — довжині коротшої дуги великого кола на сфері, що сполучає ці дві точки. Оскільки для довільних точок ${\displaystyle \xi (z_{1},z_{2})\leqslant \rho (z_{1},z_{2})\leqslant {\frac {\pi }{2}}\xi (z_{1},z_{2})}$ то для поняття рівномірної збіжності вони є еквівалентними. Для точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ хордальну метрику можна записати як:

${\displaystyle \xi (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{1}-z_{2}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}}$.

У випадку коли одна з точок рівна нескінченності ${\displaystyle \xi (z_{1},\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}}}$.

Сім'я функцій ${\displaystyle S}$ голоморфних в області в області ${\displaystyle D}$ простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1}$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно можна дати означення: нормальна сім'я голоморфних функцій в області — сім'я ${\displaystyle S}$ однозначних голоморфних функцій ${\displaystyle f(z)}$ комплексних змінних ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$ в області ${\displaystyle D}$ простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1}$, така, що з будь-якої послідовності функцій з ${\displaystyle S}$ можна виділити підпослідовність ${\displaystyle \{f_{\nu }(z)\}}$, що рівномірно на компактах у ${\displaystyle D}$ до голоморфної функції або до нескінченності. При цьому, за визначенням, підпослідовність ${\displaystyle \{f_{\nu }(z)\}}$ рівномірно збігається на компактах у ${\displaystyle D}$ до нескінченності, якщо для будь-яких компакта ${\displaystyle K\subset D}$ і числа ${\displaystyle M>0}$ можна вказати такий номер ${\displaystyle N=N(K,M)}$, що ${\displaystyle |f_{\nu }(z)|>M}$ для всіх ${\displaystyle \nu >M,z\in K}$.

Очевидно, що це означення нормальної сім'ї голоморфних функцій є ширшим, ніж попереднє і для нього теж виконується теорема Монтеля. Також аналогічно до попереднього вводиться поняття нормальності у точці.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї ${\displaystyle S}$ голоморфних функцій в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ жодна з функцій ${\displaystyle f(z)\in S}$ не є рівною деяким двом значенням, то ${\displaystyle S}$ є нормальною сім'єю в ${\displaystyle D}$. Ця ознака нормальності сім'ї значно спрощує дослідження голоморфних функцій в околі істотно особливої точки.

Оскільки сферична і хордальна метрики визначені для розширеної комплексної площини (сфери Рімана), то попереднє означення має зміст і для мероморфних функцій.

Сім'я функцій ${\displaystyle S}$ мероморфних в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно ${\displaystyle S}$ є нормальною сім'єю мероморфних функцій в ${\displaystyle D}$, якщо з будь-якої послідовності функцій з ${\displaystyle S}$ можна виділити підпослідовність ${\displaystyle \{f_{\nu }(z)\}}$, що збігається рівномірно на компактах у ${\displaystyle D}$ до мероморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ або до нескінченності. При цьому, за визначенням, ${\displaystyle \{f_{\nu }(z)\}}$ збігається до ${\displaystyle f(z)}$ рівномірно всередині ${\displaystyle D}$ (випадок ${\displaystyle f(z)\equiv \infty }$ включається), якщо для будь-яких компакта ${\displaystyle K\subset D}$ і числа ${\displaystyle \epsilon >0}$ існують номер ${\displaystyle N=N(\epsilon ,K)}$ і круг ${\displaystyle B=B(z_{0},r)}$ радіуса ${\displaystyle r=r(\epsilon ,K)}$ з центром в будь-якій точці ${\displaystyle z_{0}\in K}$ такі, що при ${\displaystyle \nu >N}$ виконується ${\displaystyle |f_{\nu }(z)-f(z)|<\epsilon ,\;z\in B}$, коли ${\displaystyle f(z_{0})\neq \infty }$, або

${\displaystyle \left|{\frac {1}{f_{\nu }(z)}}-{\frac {1}{f(z)}}\right|<\epsilon ,\;z\in B}$

коли ${\displaystyle f(z_{0})=\infty }$.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї ${\displaystyle S}$ мероморфних функцій в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ні одна з функцій ${\displaystyle f(z)\in S}$ не є рівною деяким трьох значенням, то ${\displaystyle S}$ є нормальною сім'єю.

Теорема Марті

Сім'я ${\displaystyle S}$ мероморфних функцій є нормальною сім'єю в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \sup _{z\in K}\{\rho (f(z)):f(z)\in S\}<\infty }$

на кожному компакті ${\displaystyle K\subset D}$, де :${\displaystyle \rho (f(z))={\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}}$ — так звана сферична похідна функції ${\displaystyle f(z)}$.

Лема Зальцмана

Сім'я ${\displaystyle S}$ мероморфних функцій в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ не є нормальною сім'єю тоді і тільки тоді коли існують такі числа ${\displaystyle z_{n}\in D}$ дійсні числа ${\displaystyle r_{n}>0}$, що збігаються до нуля і функції ${\displaystyle f_{n}\in S}$ для яких функції визначені як ${\displaystyle g_{n}(\alpha )=f_{n}(z_{n}+r_{n}\alpha )}$ збігаються на комплексній площині рівномірно на компактах (у сферичній чи хордальній метриці) до мероморфної функції ${\displaystyle g(\alpha )}$, що не дорівнює константі і для якої сферична похідна завжди не більша 1 і дорівнює 1 в точці 0.

Теорема Ройдена

Нехай ${\displaystyle S}$ — сім'я мероморфних функцій в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ і ${\displaystyle \psi (t)}$ — зростаюча функція де ${\displaystyle t\geqslant 0}$. Якщо для всіх ${\displaystyle f\in S}$ і ${\displaystyle z\in D}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f'(z)|\leqslant \psi (|f(z)|)}$, то ${\displaystyle S}$ є нормальною сім'єю в області ${\displaystyle D}$.