Поліформа

Поліфо́рма — плоска або просторова геометрична фігура, утворена шляхом об'єднання однакових комірок — многокутників або багатогранників. Зазвичай комірка являє собою опуклий многокутник, здатний замостити площину — наприклад, квадрат або правильний трикутник. Деякі види поліформ мають свої назви; наприклад, поліамант — поліформа, яка складається з рівносторонніх трикутників[5].

20 «вільних» тетраронів — тривимірних поліформ, утворених з'єднанням 4 ромбододекаедрів[1][2]. Кількість «односторонніх» тетраронів дорівнює 28, через те, що 8 з 20 «вільних» тетраронів не можуть бути суміщені зі своїми дзеркальними копіями паралельним переносом і обертанням[3][4]

Першими поліформами, використаними в цікавій математиці, стали поліміно — зв'язні фігури, складені з клітин нескінченної шахової дошки[6][7]. Назва «поліміно» була вигадана Соломоном Голомбом в 1953 році і популяризована Мартіном Гарднером[8][9].

Поліформа, що складається з n комірок, може позначатися як n-форма. Для вказаного числа комірок в фігурі використовуються стандартні грецькі і латинські префікси моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7]

Правила з'єднання

Правила з'єднання комірок можуть бути різними и повинні бути вказаними в конкретному випадку. Зазвичай розуміються наступні правила:

  • комірки поліформи не повинні перекриватися.
  • Дві сусідні многокутні комірки повинні мати спільне ребро або спільну площину (у просторі).
    • Якщо допустити, що сусідні комірки можуть мати лише спільний кут (на площині) або спільне ребро або вершину (у просторі), то поліформа називається псевдополіформою (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Поліформа, що складається з довільних не зв'язаних між собою комірок на площині або в просторі, називається квазіполіформою (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].

Симетрії
Фігури для гри

В залежності від того, чи дозволені обертання і дзеркальні відображення, розрізняються наступні типи поліформ[7][10]:

  • вільна (англ. free) або двостороння (англ. two-sided) поліформа — фігура, яку дозволено обертати і дзеркально відображати;
  • одностороння (англ. one-sided) поліформа — плоска фігура, яку дозволено лише обертати в площині, але не можна перевертати;
  • фіксована (англ. fixed) поліформа — фігура, яку не дозволено ні дзеркально відображати, ні обертати.

Види та застосування поліформ

Поліформи можуть використовуватися в іграх, головоломках, моделях. Однією з основних комбінаторних проблем, пов'язаною з поліформами, є перелік поліформ заданого виду. Іншою задачею є вкладання фігур із заданого набору (часто це всілякі поліформи певного виду, наприклад, 12 пентаміно) в задану область (у випадку пентаміно це можебути прямокутник 6×10).

Серед популярних головоломок і ігор, заснованих на поліформах — пентаміно, кубики сома, тетріс, деякі варіанти судоку.

Форма комірки (моноформа) Зв'язність фігури Поліформа
квадрат сторона поліміно (англ. polyomino)[7][10]
сторона, кут псевдополіміно[7][11]
поліплет (англ. polyplet)[12]
правильний трикутник сторона поліамант (англ. polyiamond, polyamond)[7][13]
правильний шестикутник сторона полігекс (англ. polyhex)[7][14]
куб грань полікуб (англ. polycube)[7][15]
трикутник 45-45-90 сторона поліаболо (англ. polyabolo)[16]
трикутник 30-60-90 сторона полідрафтер (англ. polydrafter)[17]
квадрат
(в тривімірному просторі)		 ребро (90°, 180°) поліміноід (англ. polyominoid)
ромбододекаедр грань полірон (англ. polyrhon)[1][2]
відрізок кінец (90°, 180°) полістік (англ. polystick)[18]
5 тетраміно на квадратному паркеті порядка 5[19], зображених на диску Пуанкаре. «Евклідове» квадратне тетраміно 2×2 перетворюється в «гіперболічне» п'ятикутне пентаміно з видаленим квадратом; структура чотирьох інших тетраміно залишається незмінною[20]

Поліформи на гіперболічних паркетах

На евклідовій площині існує лише три правильні паркети — квадратний паркет, трикутний паркет і шестикутний паркет. На цих трьох паркетах розміщуються три найбільш «популярні» типа поліформ — поліміно, поліаманти і полігекси відповідно.

На гіперболічній площині існує нескінченна множина правильних паркетів, кожному з котрих відповідає щонайменше один тип поліформ. На паркетах, в кожній вершині котрих сходяться три многокутники, існує один тип поліформ — об'єднання многокутників, з'єднаних сторонами. На паркетах з чотирма та більше многокутниками, що сходяться у вершині, можна розглянути також аналоги псевдополіміно — фігури, що утворюються при з'єднанні вершин многокутників.

Відомості про кількість «гіперболічних» поліформ і складання з них фігур невеликі[21][20]. Так, на квадратному паркеті порядку 5[19] існує 1 мономіно, 1 доміно, 2 триміно (вони збігаються з «евклідовими» мономіно, доміно і триміно), 5 тетраміно[20]. На правильному семикутному паркеті порядку 3[22] існує 10 тетрагептів — фігур, що складаються з чотирьох зв'язаних семикутників[21], причому 7 з цих 10 тетрагептів можна вкласти на евклідовій площині без перекриття семикутників[23].

Примітки
  1. George Sicherman Catalogue of Polyrhons
  2. Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks.
  3. OEIS A038172 Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. OEIS A038173 Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. Weisstein, Eric W. Polyform(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки, 1975, стр. 111–113
  7. Голомб С. В. Полимино, 1975
  8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  10. Weisstein, Eric W. Polyomino(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  11. Miroslav Vicher. Polyforms.
  12. Weisstein, Eric W. Polyplet(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  13. Weisstein, Eric W. Polyiamond(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  14. Weisstein, Eric W. Polyhex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  15. Weisstein, Eric W. Polycube(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  16. Weisstein, Eric W. Polyabolo(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  17. Weisstein, Eric W. Polydrafter(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  18. Weisstein, Eric W. Polystick(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  19. Квадратний паркет порядка 5 — правильний паркет на гиперболичній плщині, в кожній вершині котрого сходяться п'ять квадратів.
  20. OEIS A119611 Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  21. Puzzle Zapper Blog Holy Hyperbolic Heptagons!
  22. В кожній вершині семикутного паркету порядка 3 сходятся три правильних семикутника.
  23. George Sicherman Catalogue of Polyhepts

Література
  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975.

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.