Розподіл Гаусса — Кузьміна

Нехай

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа х. Тоді

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$

Аналогічно, нехай

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}$

тоді

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

У 1928 році Кузьмін дав границю

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.}$

У 1929 році Поль Леві[8] її поліпшив

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.}$

Пізніше, Едуард Вірсинг показав[9], що для λ=0.30366… (стала Гаусса — Кузьміна — Вірсинга), границя

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$

існує для кожного ${\displaystyle x\in [0;1]}$, а функція Ψ(х) є аналітичною і задовольняє Ψ(0)=Ψ(1)=0. Подальші границі були доведені К. І. Бабенком[10].

• Стала Хінчина
• Константа Леві