Теорема Круля про головний ідеал

Оскільки нас цікавлять лише прості ідеали ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ , можна замінити A на його локалізацію ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$. Дійсно всі прості ідеали кільця ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ мають вигляд ${\displaystyle {\mathfrak {q}}A_{\mathfrak {p}},}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал кільця A.

Отже, надалі припустимо, що кільце A є локальним з єдиним максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle a\not \in {\mathfrak {q}}}$ для кожного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}}$. Замінюючи ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle A/{\sqrt {0}}}$, можна також припустити, що A редуковане (не містить нільпотентів) або, що те саме, ${\displaystyle \{0\}}$ — радикальний ідеал.

Розглянемо його простий розклад (тобто мінімальні прості ідеали перетин яких рівний нульовому ідеалу; для нетерових кілець ці ідеали утворюють скінченну множину): ${\displaystyle \{0\}=\bigcap _{i=1}^{s}{\mathfrak {p}}_{i}}$ . Оскільки добуток ідеалів кільця є підмножиною перетину цих ідеалів, то також ${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}{\mathfrak {p}}_{i}=\{0\}}$, отже , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ містить довільний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ , але ${\displaystyle a\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$ , оскільки всі елементи з ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ — дільники нуля . Тому ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}>0}$ .

Припустимо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {q}}}$ , де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ — простий ідеал. Розглянемо фактор-кільце ${\displaystyle A/aA}$ . Воно має єдиний простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}/aA}$ , отже, є артіновим. Це означає, що будь-який спадний ланцюжок ідеалів A, які містять a, стабілізується. Зокрема, це вірно для ланцюжка, що складається з ідеалів ${\displaystyle aA+{\mathfrak {q}}^{(k)},}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)},}$ позначає символічний степінь ідеала.

Отже, існує ціле k , таке що ${\displaystyle aA+{\mathfrak {q}}^{(k)}=aA+{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ . Беручи довільний ${\displaystyle b\in {\mathfrak {q}}_{(k)}}$, одержимо, що ${\displaystyle b=ac+d}$ для деяких ${\displaystyle c\in A,d\in {\mathfrak {q}}(k+1)}$ , звідки ${\displaystyle ac\in {\mathfrak {q}}_{(k)}}$ і ${\displaystyle sac\in {\mathfrak {q}}_{k}}$ для деякого ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {q}}}$ відповідно до означення символічного степеня. Але ${\displaystyle sa\not \in {\mathfrak {q}}}$ , отже, також ${\displaystyle c\in {\mathfrak {q}}^{(k)}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}=a{\mathfrak {q}}^{(k)}+{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ .

З леми Накаями одержується рівність ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}={\mathfrak {q}}^{(k+1)}.}$ Справді маємо ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}}$ і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є максимальним, тож з леми Накаями для будь-якого скінченнопородженого модуля M з рівності ${\displaystyle {\mathfrak {p}}M=M}$ випливає, що ${\displaystyle M=0.}$ Як наслідок для скінченнопородженого модуля N, що є підмодулем M з рівності ${\displaystyle {\mathfrak {p}}M+N=M}$ випливає, що ${\displaystyle N=M.}$ Взявши ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)},{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ як ${\displaystyle M,N}$ отримуємо необхідну рівність.

Отже, ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}={\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ є мінімальним простим ідеалом відповідно до властивостей символічних степенів і ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}$

Спершу доведемо таке твердження. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},...,{\mathfrak {q}}_{m}}$ — прості ідеали нетерового кільця A і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l}}$ — ланцюжок простих ідеалів A, такий що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Тоді існує ланцюжок простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}'\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l-1}'\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l},}$ такий що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}'\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{j}}$ для всіх і,j.

Можна припустити,що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l}\subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Замінивши A на ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}_{l},}$ вважатимемо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l}=\{0\}.}$ Використовуючи індукцію щодо довжини l, можна також припустити, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-2}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Згідно леми про уникнення простих ідеалів існує ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ такий, що ${\displaystyle a\not \in \bigcap _{i=1}^{m}{\mathfrak {q}}_{i}}$. Елемент a не є оборотним і не є дільником нуля, оскільки за припущенням нульовий ідеал є простим. Тому, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}'}$ — мінімальний простий ідеал, який міститься в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ і містить a, то за теоремою Круля про головний ідеал ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}_{l-1}'=1.}$ Оскільки ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}_{l-2}\geqslant 2,}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}'\neq {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ і ми одержуємо необхідний ланцюжок.

Доведення теореми про висоту здійснюється індукцією по кількості породжуючих елементів m. Випадок m = 1 випливає з теореми Круля про головний ідеал. Розглянемо ідеал ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{m})}$де породжуюча множина містить найменшу можливі кількість елементів і нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$— відповідний мінімальний простий ідеал.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},...,{\mathfrak {q}}_{m}}$ — мінімальні прості ідеали, які містять ідеал ${\displaystyle I=(a_{1},a_{2},...,a_{m-1})}$ (їх кількість завжди є скінченною). Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{i}}$ для деякого і, то ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\leqslant m-1.}$ Припустимо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}_{i}.}$

Розглянемо будь-який ланцюжок простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l}.}$ Із попереднього можна припустити що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Позначимо ${\displaystyle {\bar {A}}=A/I,\ {\bar {a}}=a+I\in {\bar {A}},\ {\bar {\mathfrak {q}}}_{i}={\mathfrak {q}}_{i}/I,\ {\bar {\mathfrak {p}}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}/I.}$ Тоді ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}={\bar {\mathfrak {p}}}_{0}}$ є мінімальним серед простих ідеалів ${\displaystyle {\bar {A}},}$ що містять ${\displaystyle a_{m},}$ отже, ${\displaystyle \operatorname {ht} {\bar {\mathfrak {p}}}\leqslant 1.}$ Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ є всіма мінімальними простими ідеалами ${\displaystyle {\bar {A}}}$ і ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}_{l-1}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i},}$ то ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$ є мінімальним серед простих ідеалів ${\displaystyle {\bar {A}},}$ що містять ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}_{l-1}.}$ Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}_{l-1}}$ є мінімальним серед простих ідеалів у ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}_{l-1},}$ які містять всі класи ${\displaystyle a_{i}+{\mathfrak {p}}_{l-1}\ (i=1,...,m-1).}$ За індуктивним припущенням, ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}_{l-1}\leqslant m-1,}$ тобто ${\displaystyle l\leqslant m.}$