Точковмісна топологія

Нехай X — непорожня множина і $\tau =\{\varnothing ,A\subset X\mid p\in A\}$ , де $p\in X$ — фіксована точка. Тоді τ є топологією на X, яка називається точковмісною.

Властивості

Кожна точка простору Х, відмінна від p, є граничною точкою множини {p}.
Замикання довільної відкритої непорожньої множини дорівнює Х.
Внутрішність довільної замкненої непорожньої множини, відмінної від Х, є порожньою.
Підпростір Х\{p} простору Х є дискретним.
X є $T_{0}$ -простором. Якщо $|X|\geqslant 3$ , то X не є $T_{i}$ -простором, i=1,2,3,4,5. Коли $|X|=2$ , X є $T_{4}$ і $T_{5}$ -простором, але не є $T_{1}$ , $T_{2}$ і $T_{3}$ -простором. Якщо $|X|=1$ , то X є $T_{i}$ -простором, i=1,2,3,4,5.
Х компактний (ліндельофів) тоді й лише тоді, коли X скінченний (не більш ніж зліченний).
X є сепарабальним простором. Але коли Х є незліченним, підпростір Х\{p} не є сепарабельним.
Х задовольняє першу аксіому зліченності. Х задовольняє другу аксіому зліченності тоді і тільки тоді, коли Х є не більш ніж зліченним.
Дві різні точковмісні топології на Х гомеоморфні, але не порівнювані.
Х є розсіяним простором.
Х є гіперзв'язним просторм.
Якщо $|X|\geqslant 3$ , то Х не ультразв'язний.
Х не є слабко зліченно компактним.
Х є псевдокомпактним.
Х є лінійно зв'язним і локально лінійно зв'язним, але не дугово зв'язний.
Х є локально компактним топологічним простором. Х є сильно локально компактний тоді і тільки тоді, коли Х є скінченним.
Х є простором другої категорії.

Література

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.