Уніпотентний елемент

В математиці елемент деякого кільця називається уніпотентним, якщо він є сумою одиниці кільця і нільпотентного елемента. Важливим прикладом є уніпотентні матриці і лінійні оператори у скінченновимірних векторних просторах.

Оскільки кожна алгебрична лінійна група є ізоморфною замкнутій підгрупі загальної лінійної групи, через розклад Жордана — Шевальє поняття уніпотентних елементів можна ввести для довільної лінійної алгебричної групи. Ці елементи та підгрупи, усі елементи яких є уніпотентними, відіграють важливу роль у вивченні лінійних алгебричних груп і алгебричних многовидів загалом.

Означення

Нехай $R$ є кільцем з одиничним елементом $1$ . Елемент $r\in R$ називається уніпотентним, якщо $r-1$ є нільпотентним елементом, тобто якщо

(r-1)^{n}=0

для деякого $n\in \mathbb {N}$ .

Уніпотентні елементи лінійної алгебричної групи

Уніпотентним елементом лінійної алгебричної групи $G$ , називається елемент, що збігається з уніпотентною компонентою $g_{u}$ свого розкладу Жордана — Шевальє в групі $G$ .

Якщо реалізувати $G$ як замкнуту підгрупу групи $GL(V)$ автоморфізмів скінченновимірного векторного простору $V$ над основним алгебрично замкнутим полем $K$ , то уніпотентний елемент $g$ — це елемент, для якого $(1-g)^{n}=0,\;\;n=\dim V$ , або елемент, матриця якого в деякому базисі простору $V$ є уніпотентною матрицею.

Якщо $\operatorname {char} K=0$ , то всякий уніпотентний елемент $g$ має нескінченний порядок. В цьому випадку найменша алгебрична підгрупа в $G$ , що містить $g$ , є одновимірною уніпотентною групою.

Якщо ж $\operatorname {char} K=p>0$ , то $g$ буде уніпотентним елементом тоді і тільки тоді, коли він має скінченний порядок, рівний $p^{t}$ для деякого $t\geqslant$ . Зв'язана група не містить уніпотентних елементів тоді і тільки тоді, коли вона є алгебричним тором.

Многовид уніпотентних елементів

Множина $U(G)$ всіх уніпотентних елементів у $G$ є замкнутою в топології Зариського. Якщо $G$ визначена над підполем $k\subset K$ то і $U(G)$ є визначеною над $k$ .
Многовид $U(G)$ є інваріантним щодо внутрішніх автоморфізмів групи $G$ .
Для зв'язаної і напівпростої групи $G$ кількість класів спряженості уніпотентних елементів є скінченною.
Для кожної простої групи $G$ відомий їх повний опис класів суміжності уніпотентних елементів, а також їх централізаторів ([1]). У класичних групах такий опис одержується з використанням жорданової форми матриці [2].
Наприклад, для групи $G=SL_{n}(K)$ існує бієкція між класами спряженості уніпотентних елементів і розбиттями $(m_{1},\ldots ,m_{s})$ числа $n$ у суму додатних цілих доданків $m_{i},\;\;m_{1}\geqslant m_{2}\geqslant \ldots \geqslant m_{s}$ . Якщо $\lambda =(m_{1},\ldots ,m_{s})$ і $\mu =(l_{1},\ldots ,l_{t})$ — два розбиття числа $n$ , то клас, який відповідає $\lambda$ містить в своєму замиканні клас, який відповідає $\mu$ тоді і тільки тоді, коли $\sum _{i=1}^{j}m_{j}\geqslant \sum _{i=1}^{j}l_{j}$ для всіх $j$ . Розмірність класу, що відповідає розбиттю $(m_{1},\ldots ,m_{s})$ , як алгебричного многовида, дорівнює $n^{2}-\sum _{ij}\min(m_{i},m_{j})$ .
Множина всіх регулярних точок алгебричного многовида $U(G)$ утворює один клас спряженості уніпотентних елементів — регулярні уніпотентні елементи. Якщо $G$ є простою, то многовид особливих точок многовида $U(G)$ також містить відкритий в топології Зариського клас спряженості уніпотентних елементів — субрегулярні уніпотентні елементи ([3] ).

Уніпотентні групи

Підгрупа $U$ лінійної алгебричної групи $G$ , що складається з уніпотентних елементів називається уніпотентною групою.

Приклади

Прикладом уніпотентної групи є група $U_{n}(K)$ всіх верхніх трикутних матриць з $GL_{n}(K)$ з одиницями на діагоналі. Якщо $k$ — підполе поля $K$ і $U$ — уніпотентна підгрупа в $GL_{n}(k)$ то $U$ є спряженою над $k$ з деякою підгрупою групи $U_{n}(k)$ . Зокрема, всі елементи з $U$ мають у $V$ спільний ненульовий власний вектор, a $U$ є нільпотентною групою. Тобто з точністю до ізоморфізму уніпотентні групи це підгрупи груп $U_{n}(K)$ при різних $n$ .
Для комутутивної лінійної алгебричної групи множина $U(G)$ всіх уніпотентних елементів у $G$ є замкнутою алгебричною підгрупою, тобто вона є уніпотентною групою.

Властивості

У будь-якій лінійній алгебричній групі $H$ є єдина зв'язана нормальна уніпотентна підгрупа $R_{u}(H)$ , яка називається уніпотентним радикалом. Факторгрупа $H/R_{u}(H)$ є редуктивною групою. Це до певної міри зводить вивчення будови будь-якої групи до вивчення будови редуктивних груп і уніпотентних груп. На відміну від редуктивного випадку класифікація алгебричних уніпотентна група невідома.
Будь-яка підгрупа і довільна факторгрупа алгебричної уніпотентної групи знову є уніпотентною групою.
Якщо $\operatorname {char} K=0$ , то $U$ завжди є зв'язаною, причому експоненціальне відображення ${\displaystyle \exp$ (де ${\mathfrak {u}}$ — алгебра Лі групи $U$ ) є ізоморфізмом алгебричних многовидів.
Якщо ж $\operatorname {char} K=p>0$ , то існують незв'язані алгебричні уніпотентні групи: наприклад, адитивна група $G_{a}$ основного поля. (Її можна ототожнити з $U_{2}(K)$ ) є $p$ -групою і тому містить скінченну уніпотентну групу.
У зв'язаній уніпотентній групі $U$ завжди є така послідовність нормальних дільників що всі фактори $U_{i}/U_{i+1}$ є одновимірними. Будь-яка зв'язана алгебрична одновимірна уніпотентна група є ізоморфною $G_{a}$ . Це зводить вивчення зв'язаних алгебричних уніпотентних груп до опису кратних розширень груп типу $G_{a}$ .
Якщо $H\subset U$ — зв'язані алгебричні уніпотентні групи то многовид $U/H$ є ізоморфним афінному простору. Будь-яка орбіта алгебричної уніпотентної групи автоморфізмів афінного алгебричного многовиду $X$ є замкнутою в $X$ [4].

Комутативні уніпотентні групи

Якщо $\operatorname {char} K=0$ , то всі комутативні групи є ізоморфними $G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}$ і при цьому ізоморфізм задається експоненціальним відображенням [5].
У випадку $\operatorname {char} K=p>0$ , зв'язані комутативні алгебричні уніпотентні групи $U$ — це зв'язані комутативні алгебричні групи, які є $p$ -групами. В цьому випадку $U$ є ізоморфною $G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}$ тоді і тільки тоді, коли $g^{p}=e$ для будь-якого $g\in G$ . У загальному випадку $U$ є ізогенною добутку так званих груп Вітта [6].

Примітки

див. Spaltenstein N. Classes unipotentes et sous-groupes de Borel
див. Borel A. et al. Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups
Детальніше див. Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups
Steinberg. Conjugacy classes in algebraic groups
Kambayashi, Miyanishi, Takeuchi. Unipotent Algebraic Groups
Serre J.-P. Algebraic groups and class fields

Див. також

Література

Борель А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.
Armand Borel, R. W. Carter, Charles W. Curtis, Nagayoshi Iwahori, T. A. Springer, Robert Steinberg (1970). Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups. Lecture Notes in Mathematics 131. Springer. ISBN 9783540049203.
Tatsuji Kambayashi, Masayoshi Miyanishi, Mitsuhiro Takeuchi (1974). Unipotent Algebraic Groups,. Lecture Notes in Mathematics 414. Springer-Verlag. ISBN 9780387069609.
Serre, Jean-Pierre (1988). Algebraic groups and class fields. Graduate Texts in Mathematics 117. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96648-9.
Slodowy, Peter (1980). Simple singularities and simple algebraic groups. Lecture Notes in Mathematics 815. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10026-3. MR 584445. doi:10.1007/BFb0090294.
Spaltenstein, Nicolas (1982). Classes unipotentes et sous-groupes de Borel. Lecture Notes in Mathematics 946. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11585-4. MR 672610.
Steinberg, Robert (1974). Conjugacy classes in algebraic groups. Lecture Notes in Mathematics 366. Berlin-New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-06657-6. MR 0352279. doi:10.1007/BFb0067854.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] див. Spaltenstein N. Classes unipotentes et sous-groupes de Borel

[2] див. Borel A. et al. Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups

[3] Детальніше див. Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups

[4] Steinberg. Conjugacy classes in algebraic groups

[5] Kambayashi, Miyanishi, Takeuchi. Unipotent Algebraic Groups

[6] Serre J.-P. Algebraic groups and class fields