Гіперкомплексні числа

Відповідно до найпоширенішого означення кільця, в кожному кільці, а отже і в алгебрі, справджується асоціативність множення. Проте іноді говорять про «неасоціативні кільця» і відповідно про «неасоціативні гіперкомплексні системи». Такі системи дуже незручні для вивчення і розглядаються рідко. Разом з тим, відсутність комутативності множення є цілком звичним явищем для гіперкомплексних систем. Таким чином, гіперкомплексні системи бувають комутативними та некомутативними. Інше важливе питання, в залежності від відповіді на яке можна поділити гіперкомплексні системи на дві категорії: чи має дана система дільники нуля? У скінченновимірній алгебрі відсутність дільників нуля рівносильна тому факту, що ця алгебра є тілом.

У сучасному розумінні системи дійсних і комплексних чисел є частинними випадками гіперкомплексної системи, хоча історично природніше розглядати такі гіперкомплексні системи, які є «складнішими» за систему комплексних чисел, зокрема, мають розмірність більше 2. Як з'ясувалося, тривимірні гіперкомплексні системи дуже незручні для вивчення, тому насамперед було побудовано і вивчено певну 4-вимірну гіперкомплексну систему — систему кватерніонів. Це приклад некомутативної гіперкомплексної системи без дільників нуля. Незважаючи на незручності, спричинені некомутативністю, кватерніони багато в чому схожі на комплексні числа і, мабуть, можуть бути названі найближчими до них за властивостями і в деяких розуміннях найпростішими для вивчення з-поміж усіх власне гіперкомплексних чисел (тут і далі слово «власне» перед прикметником «гіперкомплексний» означає, що дійсні та комплексні об'єкти виключаються з розгляду).

Приклади інших з-поміж найвідоміших гіперкомплексних систем: двовимірні — подвійних чисел, дуальних чисел; чотиривимірні — бікомплексних чисел, антикватерніонів. З перерахованих у цьому абзаці чисел усі, крім антикватерніонів, утворюють комутативні системи, але, крім того, всі ці системи мають дільники нуля. Взагалі, згідно з теоремою Фробеніуса, всі скінченновимірні алгебри над полем дійсних чисел без дільників нуля вичерпуються трьома прикладами (з точністю до ізоморфізму): це системи дійсних чисел, комплексних чисел і кватерніонів.

Щоб задати скінченновимірну гіперкомплексну систему, досить перерахувати позначення для елементів деякого її базису і записати, чому дорівнюють усі попарні добутки цих елементів (а також вказати, над яким полем розглядається ця алгебра). Після цього сума чи добуток довільних двох елементів системи легко обчислюється з використанням властивостей операцій кільця та векторного простору. Наприклад, задаючи з такої точки зору комплексні числа, досить сказати, що це алгебра над полем дійсних чисел, базис якої складається з елементів 1 та ${\displaystyle i\,}$, які задовольняють співвідношенням:

• ${\displaystyle \ 1^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \ 1i=i1=i,}$
• ${\displaystyle \ i^{2}=-1.}$

Втім, якщо в базис входить 1 (одиниця), то відомостей про неї можна не наводити, вважаючи її стандартним позначенням одиничного елемента і навіть ототожнюючи з дійсним числом 1: її добуток з будь-якого боку на будь-який елемент дорівнює цьому елементу.

У 1843 році ірландський математик Вільям Гамільтон запропонував згадану вище систему кватерніонів, яка стала історично першою власне гіперкомплексною системою. Пошуки такої системи були зумовлені тим, що множення комплексних чисел описує повороти на площині, й виникало бажання знайти щось аналогічне для поворотів у тривимірному просторі. Цього якоюсь мірою вдалося досягти за допомогою кватерніонів. Теорія кватерніонів невдовзі стала одним з джерел розвитку таких понять, як векторний і скалярний добутки векторів.

Спочатку винайдення кватерніонів та інших гіперкомплексних чисел було сприйнято як подію, порівняну за значимістю з винайденням комплексних чисел, що спонукало математиків до досить активних досліджень у цій області. Особливо відчутний внесок зробив уже згаданий вище німецький математик Ф. Г. Фробеніус.

Проте досить швидко інтерес до цієї тематики спав, бо роль власне гіперкомплексних чисел виявилася не настільки важливою, як роль комплексних чисел. Так що подальший розвиток у цій галузі відбувався досить повільно та епізодично. Щодо досліджень цього періоду, можна, наприклад, зазначити, що в 1940-х роках виходили статті канадсько-американського математика Івана Найвена (Ivan Niven, 1915–1999), у яких досліджувалися різні властивості кватерніонів, наприклад, щодо добування з них коренів.

Проте останнім часом спостерігається активізація досліджень, пов'язаних з гіперкомплексними числами. Достатньо потужні осередки такої активності є, наприклад, у Бельгії, Польщі, Болгарії, США, Мексиці, Росії. Прихильники таких досліджень звертають увагу на те, що деякі математичні твердження набувають значно простішого вигляду або значно легше доводяться, якщо записати їх мовою дій над кватерніонами чи іншими гіперкомплексними числами. Проте на сьогодні є дуже значна кількість і таких математиків, які вважають, що користі від досліджень гіперкомплексних систем небагато.

• Бікватерніони

• Гіперкомплексні числові системи : основи теорії, практичні використання, бібліогр. / М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова [та ін.] ; Ін-т пробл. реєстрації інформації НАН України. – К., 2009. – 43 с. : іл. – Бібліогр. : с. 20–42 (понад 100 назв).
• Математический энциклопедический словарь. — Москва, 1988.
• Математическая энциклопедия. Т. 1. — Москва, 1977.
• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
• Б. А. Розенфельд. Многомерные пространства. — Москва, 1966.