Дуальні числа

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду ${\displaystyle (a,\;b)}$, для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})}$

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})*(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$

Числа виду ${\displaystyle (a,\;0)}$ ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число ${\displaystyle (0,\;1)}$ позначається ${\displaystyle \varepsilon }$, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon }$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо ${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$.

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x}$

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots }$

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.