Гіпергеометричний розподіл

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з ${\displaystyle N}$ елементів. Припустимо, що ${\displaystyle n}$ із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з ${\displaystyle D}$ елементів. Нехай ${\displaystyle Y}$ — випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей ${\displaystyle Y}$ має вигляд:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {C_{D}^{k}\,C_{N-D}^{n-k}}{C_{N}^{n}}}}$,

де ${\displaystyle C_{n}^{k}\equiv {n \choose k}\equiv {\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$ позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {HG} (D,N,n)}$.

Математичне сподівання ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {nD}{N}}}$,

Дисперсія ${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}}$.

Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки? Задача описується в наступній таблиці:

Ймовірність ${\displaystyle \mathbb {P} (k=x)}$ того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=x)=f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}=0.003964583\dots .}$

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази. Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

Таким чином, ми отримуємо ймовірність:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}=0.0001189375\dots ,}$

${\displaystyle f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}=f(n-k;N,N-D,n)}$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

${\displaystyle f(k;N,D,n)=f(k;N,n,D)}$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно ${\displaystyle k}$ кульок чорні й позначені як вийняті.

Нехай ${\displaystyle X\sim \mathrm {HG} (m,N,n)}$ та ${\displaystyle p=m/N}$.

• Якщо ${\displaystyle n=1}$, то ${\displaystyle X}$ має розподіл Бернуллі з параметром ${\displaystyle p}$.

• Нехай випадкова величина ${\displaystyle Y}$ має біноміальний розподіл з параметрами ${\displaystyle n}$ та ${\displaystyle p}$; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли ${\displaystyle N}$ та ${\displaystyle m}$ досить великі порівняно з ${\displaystyle n}$, а також ${\displaystyle p}$ не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ мають подібні розподіли, тобто ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)\approx \mathbb {P} (Y\leq k)}$.

• Якщо ${\displaystyle n}$ велике, ${\displaystyle N}$ та ${\displaystyle m}$ великі порівняно з ${\displaystyle n}$, а ${\displaystyle p}$ не є близьким до 0 чи 1, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}$

де ${\displaystyle \Phi }$ - функція розподілу стандартного нормального розподілу.

• Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то ${\displaystyle X}$ має нецентральний гіпергеометричний розподіл.