q-аналог

Класична q-теорія починається з q-аналогів для невід'ємних цілих чисел[2]. Рівність

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

передбачає, що ми визначаємо q-аналог числа n, відомий як q-дужка або q-число числа n, рівним

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Вибір серед інших можливостей конкретно цього q-аналог не має певної причини, однак аналог виникає природним чином у декількох контекстах. Наприклад, якщо вирішуємо використовувати позначення [n]_q для q-аналога числа n, можна визначити q-аналог факторіала, відомий як q-факторіал, у такий спосіб

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Цей q-аналог з'являється природним чином у декількох контекстах. Що примітно, тоді як n! підраховує число перестановок довжини n, [n]_q! підраховує перестановки з урахуванням числа інверсій. Тобто, якщо inv (w) означає число інверсій перестановки w, а S_n — множина перестановок довжини n, маємо

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}$

Зокрема, можна отримати звичний факторіал переходом до границі ${\displaystyle q\rightarrow 1}$.

Q-факторіал має також коротке визначення в термінах q-символу Похгаммера, базового будівельного блоку всіх q-теорій:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Від q-факторіалов можна перейти до q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гаусові коефіцієнти, гаусові многочлени або гаусові біноміальні коефіцієнти:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Q-степінь визначають як

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

Тригонометричні q-функції, разом з q-перетворенням Фур'є визначають у цьому ж контексті.

На противагу дозволу змінювати q і розгляду q-аналогів як відхилень можна розглядати комбінаторний випадок q = 1 як границю q-аналогів q → 1 (часто неможливо просто підставити q = 1 у формулу, тому доводиться брати границю).

Це можна формалізувати в поле з одним елементом, де комбінаторика подається як лінійна алгебра над полем з одним елементом. Наприклад, групи Вейля є просто алгебричними групами над полем з одним елементом.

Q-аналоги часто виявляються в точних розв'язках задач багатьох тіл. У таких випадках границя при q → 1 відповідає відносно простій динаміці, тобто без нелінійних збурень, тоді як q < 1 дає можливість розглянути складний нелінійний режим зі зворотним зв'язком.

Прикладом з атомної фізики є модель створення молекулярного конденсату з ультрахолодного ферміонного газу в умовах вимітання зовнішнього магнітного поля за допомогою резонансу Фешбаха[3]. Цей процес описується моделлю з q-збуреною версією алгебри операторів SU(2) і розв'язок описується q-збуреними показниковими і біноміальними розподілами.

• Список q-аналогів
• Числа Стірлінга
• Діаграма Юнга

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Umbral calculus, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.