Геометрія інцидентності

Структура інцидентності (P, L, I) складається з множини P, елементи якої називаються точками, множини L, елементи якої називаються прямими, і відношення інцидентності I між ними, тобто підмножини P × L, елементи якої називаються прапорами[2]. Якщо (A, l) — прапор, ми кажемо, що A інцидентна l, або, що l інцидентна A (відношення симетричне), і пишемо A I l. Інтуїтивно ясно, що точка і пряма перебувають у такому відношенні тоді і тільки тоді, коли точка лежить на прямій. Якщо дано точку B і пряму m, які не утворюють прапор, то точка не лежить на прямій і пара (B, m) називається антипрапором.

Найбільш досліджувані структури інцидентності, це структури, що задовольняють деяким додатковим властивостями (аксіомам), такі як проєктивні площини, афінні площини, узагальнені многокутники, часткові геометрії і майже многокутники. Достатньо загальні структури інцидентності можуть бути отримані накладенням «м'яких» умов, таких як:

Частково лінійний простір є структурою інцидентності, для якої виконуються такі аксіоми[3]:

• Будь-яка пара різних точок визначає максимум одну пряму.
• Будь-яка пряма містить щонайменше дві різні точки.

У частково лінійному просторі також правильно, що будь-яка пара різних прямих перетинаються максимум в одній точці. Це твердження не включається в аксіоми, оскільки легко доводиться з першої аксіоми.

Подальші обмеження задаються умовами регулярності:

RLk: Кожна пряма інцидентна одному й тому ж числу точок. Якщо це число скінченне, воно часто позначається як k.

RPr: Кожна точка інцидентна одному й тому ж числу прямих. Якщо це число скінченне, його часто позначають як r.

З другої аксіоми частково лінійного простору слідує, що k > 1. Жодна з умов регулярності не випливає з іншої, тому слід прийняти r > 1.

Скінченний частково лінійний простір, що задовольняє обом умовам регулярності з k, r > 1, називається тактичною конфігурацією[4]. Деякі автори називають такі конфігурації просто конфігураціями[5] або проєктивними конфігураціями[6]. Якщо тактична конфігурація має n точок і m прямих, то, після подвійного підрахунку прапорів, виходить співвідношення nr = mk. Зазвичай використовується позначення (n_r, m_k)-конфігурація. В особливому випадку, коли n = m (а тому, r = k), замість позначення (n_k, n_k) часто пишуть просто (n_k).

Найпростіший нетривіальний лінійний простір

Лінійний простір є частково лінійним простором, таким, що[3]:

• Будь-яка пара різних точок визначає рівно одну пряму.

Деякі автори додають аксіому «невиродженості» (або «нетривіальності») до визначення (часткового) лінійного простору, таку як:

• Існують принаймні дві різні прямі[7].

Аксіома невиродженості дозволяє виключити деякі дуже маленькі приклади (переважно ті, в яких множини P або L складаються менш ніж з двох елементів), які були б винятками в загальних твердженнях про структури інцидентності. Альтернативний підхід — вважати структури інцидентності, що не задовольняють аксіомі невиродженості тривіальними, а ті, що задовольняють — нетривіальними.

Будь-який нетривіальний лінійний простір містить щонайменше три точки і три прямі, так що найпростіший нетривіальний лінійний простір — трикутник.

Лінійне простір, що має принаймні три точки на кожній прямій, є конфігурацією Сильвестра – Галлаї.

Деякі з базових понять і термінів виникають з геометричних прикладів, особливо із проєктивних площин і афінних площин.

Проєктивні площини

Проєктивна площина — це лінійний простір, у якому:

• будь-яка пара різних прямих перетинаються рівно в одній точці;
• виконується умова невиродженості — існує чотири точки, жодні три з яких не колінеарні.

На проєктивних площинах існує бієкція між P і L. Якщо P є скінченною множиною, про проєктивну площину кажуть як про скінченну проєктивну площину. Порядок скінченної проєктивної площини дорівнює n = k – 1, тобто на одиницю менший від числа точок на прямій. Всі відомі проєктивні площини мають порядки, рівні степеню простого числа. Проєктивна площину порядку n є конфігурацією ((n² + n + 1)_{n + 1}).

Найменша проєктивна площина має порядок два і відома як площина Фано.

Проєктивна площина порядку 2 — площина Фано

Афінні площини

Афінна площина — це лінійний простір, у якому:

• Для будь-якої точки A і прямої l, не інцидентної точці (антипрапор), існує рівно одна пряма m, інцидентна A (тобто A I m), яка не перетинає l (аксіома Плейфера)
• Виконується умова невиродженості — існує трикутник, тобто три неколінеарні точки.

Про прямі l і m у твердженні аксіоми Плейфера кажуть як про паралельні. Будь-яка афінна площина може бути єдиним чином розширена до проєктивної площини. Порядок скінченної афінної площини дорівнює k, числу точок на прямій. Афінна площина порядку n є конфігурацією ((n²)_{n + 1}, (n² + n)_n).

Афінна площина порядку 3
(Конфігурація Гессе)

Часткова геометрія pg(2,2,1)

Якщо задано ціле число α ≥ 1, тактична конфігурація, що задовольняє аксиомі:

• Для будь-якого антипрапора (B, m) існують α прапорів (A, l), такі щоо B I l и A I m,

називається частковою геометрією. Якщо існує s + 1 точок на прямій і t + 1 прямих проходять через точку, позначення цієї часткової геометрії — pg(s, t, α).

Якщо α = 1, ці часткові геометрії є узагальненими чотирикутниками.

Якщо α = s + 1, конфігурації називаються системами Штейнера.

Для n > 2[11], узагальнений n-кутник — це частково лінійний простір, граф інцидентності якого Γ має властивість:

• Обхват графа Γ (довжина найкоротшого циклу) є подвоєним діаметром графа Γ (найбільша відстань між двома вершинами, n в нашому випадку).

Узагальнений 2-кутник — це структура інцидентності, яка не є частково лінійним простором, що складається щонайменше з двох точок і двох прямих, в якій кожна точка інцидентна кожній прямій. Графом інцидентності узагальненого 2-кутника є повний двочастковий граф.

Узагальнений n-кутник не містить ніяких простих m-кутників для 2 ≤ m < n і для кожної пари об'єктів (дві точки, дві прямі або точка з прямою) існує звичайний n-кутник, що містить обидва об'єкти.

Узагальнені 3-кутники є проєктивними площинами. Узагальнені 4-сторонники називаються узагальненими чотирикутниками. За теоремою Фейта-Гіґмана існує тільки скінченне число узагальнених n-кутників щонайменше з трьома точками на кожній прямій і трьома прямими, що проходять через кожну точку, і число n дорівнює 2, 3, 4, 6 або 8.

Для невід'ємних цілих d майже 2d-кутник — це структура інцидентності, така, що:

• найбільша відстань (вимірюється за графом колінеарності) між двома точками рівна d;
• для будь-якої точки X і прямої l існує єдина точка на l, найближча до X.

Майже 0-кутник — це точка, а майже 2-кутник — пряма. Граф колінеарності майже 2-кутника — повний граф . Майже 4-кутник — це узагальнений чотирикутник (можливо, вироджений). Будь-який скінченний узагальнений многокутник, за винятком проєктивних площин, є тісним многокутником. Будь-який зв'язний двочастковий граф є майже многокутником і будь-який майже многокутник, що має рівно дві точки на кожній прямій, є зв'язним двочастинним графом. Також всі двоїсті полярні простори є майже многокутниками.

Багато майже многокутників пов'язані з скінченними простими групами, подібними до груп Матьє і групи Янко J2. Більше того, узагальнені 2d-кутники, пов'язані з групами лієвого типу, є особливими випадками майже 2d-кутників.

Абстрактна площина Мебіуса (або інверсна площина) — це структура інцидентності, в якій, щоб уникнути можливої плутанини з термінологією класичного випадку, прямі називають циклами або блоками.

Конкретно: площина Мебіуса — це структура інцидентності точок і циклів, така, що:

• Будь-яка трійка різних точок інцидентна рівно одному циклу.
• Для будь-якого прапора (P, z) і будь-якої точки t Q що не інцидентної z існує єдиний цикл z^∗ з P I z^∗, Q I z^∗ і z ∩ z^∗ = {P (Кажуть, що цикли торкаються P.)
• Будь-який цикл має щонайменше три точки і існує щонайменше один цикл.

Структура інцидентності, отримана з будь-якої точки P площини Мебіуса шляхом вибору як точок всіх точок, відмінних від P, а як прямих вибору тільки тих циклів, які містять P (з видаленою P), є афінною площиною. Ця структура називається залишком P в теорії схем.

Скінченна площина Мебіуса порядку m — це тактична конфігурація з k = m + 1 точками в кожному циклі, яка є 3-дизайном, блок-схемою 3-(m² + 1, m + 1, 1)

• Проєктивні геометрії
• Многокутник Моуфанга
• Подвійна шістка Шлефлі
• Конфігурація Реє
• Конфігурація Кремони — Річмонда
• Конфігурація Куммера
• Конфігурація Кляйна
• Недезаргова площина
• Конфігурація (розбиття простору)

• Комбінаторні схеми
• Скінченна геометрія
• Теорема про перетини
• Граф Леві

• G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matematiche. — 1892. — Т. 30. — С. 106–132.
• H. S. M. Coxeter. Introduction to Geometry. — New York : John Wiley & Sons, 1969. — С. 233. — ISBN 0-471-50458-0.
• David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. — 2nd. — Chelsea, 1952. — С. 94–170. — ISBN 0-8284-1087-9.
• Lynn Margaret Batten. Combinatorics of Finite Geometries. — New York : Cambridge University Press, 1986. — ISBN 0-521-31857-2.
• Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. The Theory of Finite Linear Spaces. — New York : Cambridge University Press, 1993. — ISBN 0-521-33317-2.
• Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
• Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). «On the life and scientific work of Gino Fano». arXiv:1311.7177.
• Peter Dembowski. Finite geometries. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1968. — Т. 44. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). — ISBN 3-540-61786-8.
• Malkevitch, Joe. Finite Geometries?. Процитовано 2 грудня 2013.
• Moorhouse, G. Eric (August 2007). Incidence Geometry (pdf) (англ.). University of Wyoming. Архів оригіналу за 29 жовтня 2013. Процитовано 17 січня 2017. Проігноровано невідомий параметр |subtitle= (довідка)
• Johannes Ueberberg. Foundations of Incidence Geometry. — Springer, 2011. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-642-26960-8. — DOI:10.1007/978-3-642-20972-7..
• Ernest E. Shult. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext). — ISBN 978-3-642-15626-7. — DOI:10.1007/978-3-642-15627-4..
• Simeon Ball. Finite Geometry and Combinatorial Applications. — Cambridge University Press, 2015. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-1107518438..

• Incidence system на сайті Математична енциклопедія(англ.)