Гострий та тупий трикутники

Якщо кут С тупий, то для сторін a, b та c ми маємо:[4]^:p.1,#74

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

що ліва нерівність наближається до рівності, лише коли кут нахилу рівномірного трикутника наближається до 180 °, а права нерівність наближається до рівності, тільки коли тупий кут наближається до 90 °.

Якщо трикутник гострий, то

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Якщо C є найбільшим кутом, а h _c  — висота від вершини C, тоді для гострого трикутника[4]^:p.135,#3109

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

із протилежною нерівністю, якщо C — тупий.

З найдовшою стороною c і медіанами m_a і m_b з інших сторін [4]^:p.136,#3110

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

для гострого трикутника, але з нерівністю, зміненої для тупого трикутника.

Медіана m_c від найдовшої сторони є більшою або меншою, ніж радіус описаного кола для гострого або тупого трикутника відповідно:[4]^:p.136,#3113

${\displaystyle m_{c}>R}$

для гострих трикутників — протилежно до тупих.

Нерівність Оно для площі A

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

виконується для всіх гострих, але не для всіх тупих трикутників.

Для гострого трикутника ми маємо, для кутів A, B та C[4]^:p.26,#954

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника. Для гострого трикутника з радіусом описаного кола R[4]^:p.141,#3167

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

і[4]^:p.155,#S25

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Для гострих трикутників[4]^:p.115,#2874

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

з зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Для гострих трикутників[4]^:p178,#241.1

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Для будь-якого трикутника трійка дотичної ідентичності визначає, що сума тангенсів кутів дорівнює їх добутку. Оскільки гострий кут має позитивне дотичне значення, а тупий кут має негативний, вираз для знаходження добутку тангенсів показує, що

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

для гострих трикутників, в той час як протилежний напрям нерівності використовується для тупих трикутників.

Ми маємо:[4]^:p.26,#958

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

для гострих трикутників, і зворотна для тупого трикутника.

Для всіх гострих трикутників[4]^:p.40,#1210

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Для всіх гострих трикутників, що мають центр вписаного кола r і центр описаного кола R[4]^:p.53,#1424

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Для гострих трикутників з площею K,[4]^:p.103,#2662

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

У гострому трикутнику сума радіуса описаного кола R і вписаного кола r менше половини суми найкоротших сторін a і b:[4]^:p.105,#2690

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з медіанами m_a , m_b та m_c і радіусом описаного кола R, ми маємо:[4]^:p.26,#954

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

а протилежна нерівність виконується для тупого трикутника.

Також для гострого трикутника задовольняє формула:[4]^:p.26,#954

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

у термінах радіусів дотичних кіл r_a , r_b та r_c , знову ж таки з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з півперіметром s,[4]^:p.115,#2874

${\displaystyle s-r>2R,}$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з площею K,[4]^{:p.185,#291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Для гострого трикутника відстань між центром описаного кола O і ортоцентром H обчислюється за формулою[4]^:p.26,#954

${\displaystyle OH<R,}$

а за протилежною нерівністю обчислюється для тупого трикутника.

Для гострого трикутника відстань між центром вписаного кола I і ортоцентром H обчислюється так[4]^:p.26,#954

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

де r — це радіус вписаного кола, із зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Якщо один з вписаних квадратів гострого трикутника має довжину боків x_a, а інший — x_b, де x_a < x_b, тоді[2]^{:p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Якщо два тупих трикутника мають сторони (a, b, c) і (p, q, r), де c та r — найдовші сторони, тоді[4]^:p.29,#1030

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Трикутник Калабі є єдиним нерівностороннім трикутником, для якого найбільша площа, яка підходить в інтер'єрі, може бути розташована будь-яким з трьох різних способів, він тупий та рівнобедрений з основними кутами 39.1320261 … ° та третьою шириною 101.7359477 .. °.

Правильний трикутник з трьома кутами 60 °, гострий.

Трикутник Морлея, утворений з будь-якого трикутника на перехрестях його сусідніх кутових триекранів, є рівнобічним і, отже, гострим.

Золотий трикутник — це рівнобедрений трикутник, у якому співвідношення дубліката сторони до основної сторони дорівнює золотому перетину співвідношенню. Він гострий з кутами 36 °, 72 ° та 72 °, що робить його єдиним трикутником з кутами пропорцій 1:2:2.[5]

Трикутник семикутника із сторонами, що збігаються із стороною, коротшою діагоналлю і довгою діагоналлю правильного семикутника — це тупий трикутник, з кутами ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7}$ та ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Єдиний трикутник з послідовними цілими числами для висоти і сторін, гострий, має сторони (13,14,15) і висоту із сторони 14 проти 12.

Трикутник з найменшим периметром і з цілими сторонами в арифметичній прогресії та трикутник з найменшим периметром з різними цілими сторонами, є тупим, а саме із сторонами (2, 3, 4).

Трикутники з одним кутом, який двічі більший за інший, з цілими сторонами в арифметичній прогресії, є гострими: а саме трикутник із сторонами (4,5,6) та кратні йому.[6]

Не існує гострих цілосторонніх трикутників з площею, яка дорівнює периметру, але є три тупі трикутники, що мають сторони[7] (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17).

Найменший трикутник з цілими сторонами і з трьома раціональними медіанами — гострий, із сторонами[8] (68, 85, 87).

Трикутники Герона мають цілі сторони та цілі площі. Похилий трикутник Герона з найменшим периметром — гострий, із сторонами (6, 5, 5). Два трикутники Герона, які мають найменшу площу, — це гострий із сторонами (6, 5, 5) та тупий із сторонами (8, 5, 5), площа кожного з яких дорівнює 12.