Бікватерніони

Є три комплексні матриці з уявною одиницею ${\displaystyle h}$, для яких: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}.}$  Причому квадрат кожної з цих матриць є «мінус одинична матриця», а якщо добутку цих матриць зіставити добуток чисел ${\displaystyle ij=k;ji=-k}$. Отримуємо, що породжувана цими матрицями підгрупа матричної групи ізоморфна групі кватерніонів. Отже, якщо зіставити матриці ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$ бікватерніон ${\displaystyle q=u+iv+jw+kx}$, то для даної 2х2 комплексної матриці завжди існують комплексні величини ${\displaystyle u,v,w,x}$ у цій формі. Інакше кажучи, кільце комплексних матриць ізоморфне[1] кільцю (ординарних) бікватерніонів.

Довільний бікватерніон ${\displaystyle A}$ — це сума (зв'язка) комплекснозначних числа («скаляра» ${\displaystyle \alpha =Sc(A)}$ і тривимірного вектора ${\displaystyle \mathbf {a} =Vc(A)}$[2]:

${\displaystyle A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )}$

Можливі два типи скалярно-векторного подання залежно від виду добутку двох бікватерніонів. Обидва подання еквівалентні. У разі стандартного подання добутку ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ і ${\displaystyle B=(\beta ,\mathbf {b} )}$ має вигляд[3]:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$,

де ${\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$ і ${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$ — скалярний і векторний добутки відповідно.

У разі комплексного подання[4]:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$

Так визначений добуток для двох дійсних бікватерніонів дає в загальному випадку комплекснозначний бікватерніон.

Бікватерніон, спряжений даному ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$, є:

${\displaystyle {\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )}$

Квадрат модуля бікватерніона ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ є комплексним числом:

${\displaystyle |A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}}$

Він має властивість мультиплікативності:

${\displaystyle |AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}}$

Операції спряження і комплексного спряження, застосовані до добутку бікватерніонів, змінюють порядок співмножників:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

Всі бікватерніони поділяють на нулькватерніони — з нульовим квадратом модуля, і решту — ненульові бікватерніони. Кожен з цих класів замкнутий відносно операції множення.

Під час розгляду (ординарних) бікватерніонів як алгебри над полем дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ набір ${\displaystyle \{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\}}$ утворює базис, ця алгебра має дійсну розмірність простору вісім. Притому квадрати всіх елементів ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ дорівнюють ${\displaystyle +1}$. Отже, дійсна підалгебра, утворювана ${\displaystyle \lbrace x+y(Ii):x,y\in R\rbrace }$, ізоморфна кільцю, яке утворюють подвійні числа (з алгебричною структурою, аналогічною побудованій над одиничною гіперболою). Елемент ${\displaystyle Ij,Ik}$ визначають такі ж підалгебри.

Елементи ${\displaystyle \lbrace x+yj:x,y\in \mathbb {C} \rbrace }$ утворюють підалгебру, ізоморфну бікомплексним числам.

Третій вид підалгебри — спліт-кватерніони, породжується ${\displaystyle Ij,Ik}$, оскільки дійсний лінійний підпростір із базисом ${\displaystyle \{1,i,Ij,Ik\}}$ замкнутий відносно множення (адже ${\displaystyle Ij\cdot Ik=-i}$). Зазначений базис утворює діедральну групу квадрата, а кокватерніони ізоморфні алгебрі дійсних матриць 2х2.

Квантова механіка і спінорна алгебра трактують бікватерніони ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ (або їх заперечення), розглядаючи їх у поданні ${\displaystyle M(2,C)}$ як матриці Паулі.