Зв'язність на векторних розшаруваннях

Нехай E → M — гладке векторне розшарування над диференційовним многовидом M. Позначимо множину гладких перетинів розшарування E як Γ(E). Звязністю на E називається ℝ-лінійне відображення

${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M)}

для якого також виконується правило добутку

${\displaystyle \nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df}$

для всіх гладких функцій f на многовиді M і всіх гладких перетинів σ розшарування E.

Зважаючи на властивості тензорних добутків векторних розшарувань і їх перетинів для області значень також можна дати еквівалентні інтерпретації:

${\displaystyle \Gamma (E\otimes T^{*}M)\cong \Omega ^{1}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E)\cong \operatorname {Hom} _{C^{\infty }(M)}(\Gamma (TM),\Gamma (E)),}$

де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для модулів над кільцем ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ гладких функцій на многовиді M, а ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ позначає множину диференціальних 1-форм на M.

Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо X є векторним полем на M (тобто гладким перетином дотичного розшарування TM) можна ввести коваріантну похідну за напрямком X:

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

прийнявши ∇_Xσ = (∇σ)(X). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma .\end{aligned}}}$

Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на E. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор

${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E)}

що задовольняє вказані умови.

Нехай тепер ${\displaystyle U\subset M}$ — відкрита підмножина, така що ${\displaystyle E|_{U}:=\pi ^{-1}(U)}$ є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in \Gamma (E|_{U})}$ — гладкі перетини, такі що для кожної точки ${\displaystyle p\in U}$ вектори ${\displaystyle e_{1}(p),\ldots ,e_{n}(p)}$ утворюють базис векторного простору ${\displaystyle \pi ^{-1}(p)}$ (такі множини перетинів називаються реперами на ${\displaystyle U}$), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку ${\displaystyle \Omega ^{1}(U)\otimes _{C^{\infty }(U)}\Gamma (E|_{U})}$ можна записати як ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes e_{i}}$ для деяких ${\displaystyle \omega _{i}\in \Omega ^{1}(U).}$

Відповідно для зв'язності ${\displaystyle \nabla }$ на розшаруванні E на обмеженні ${\displaystyle E|_{U}}$ можна записати:

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}\otimes e_{j},\;\;\;i=1,\ldots ,n}$

де ${\displaystyle A_{ij}\in \Omega ^{1}(U)}$ — елементи матриці, що називається формою зв'язності для ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ і позначається A.

Навпаки для довільної матриці елементи якої належать ${\displaystyle \Omega ^{1}(U)}$ і репера ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ на ${\displaystyle U}$, формула вище визначає зв'язність на ${\displaystyle \Gamma (E|_{U}).}$

Оскільки ${\displaystyle s\in \Gamma (E|_{U})}$ можна однозначно записати як ${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i},}$ де ${\displaystyle s_{i}\in C^{\infty }(U)}$, то отримуємо:

${\displaystyle \nabla \left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}ds_{i}\otimes e_{i}+\sum _{i=1}^{n}s_{i}\nabla e_{i}=\sum _{i,j=1}^{n}(ds_{i}+s_{i}A_{ij})\otimes e_{j}.}$

• Зворотне відображення. З гладким відображенням ${\displaystyle f:M'\rightarrow M}$ пов'язане векторне розшарування на ${\displaystyle M'}$, що позначається ${\displaystyle f^{*}E}$ шаром якого в точці ${\displaystyle p}$ є шар E в точці ${\displaystyle f(p)}$. Зв'язність ${\displaystyle \nabla }$ на E індукує зв'язність ${\displaystyle f^{*}\nabla }$ на ${\displaystyle f^{*}E}$. Для гладкого перетину s на E і для вектора ${\displaystyle X\in T_{p}M'}$, можна визначити :${\displaystyle f^{*}\nabla _{X}(s\circ f)=\nabla _{df(X)}s\circ f}$. Локальні перетини на ${\displaystyle f^{*}E}$ породжуються перетинами виду ${\displaystyle s\circ f}$ і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності ${\displaystyle \nabla }$.

Якщо ${\displaystyle \nabla =\nabla ^{1}}$ і ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях E=E₁ і E₂ з єдиним базисним простором M, то також можна ввести зв'язності :

• Зв'язність на прямій сумі ${\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}}$, що позначається ${\displaystyle \nabla ^{1}\oplus \nabla ^{2}}$ :

${\displaystyle (\nabla ^{1}\oplus \nabla ^{2})_{X}(s_{1}\oplus s_{2})=\nabla _{X}^{1}s_{1}\oplus \nabla _{X}^{2}s_{2}}$ ;

• Зв'язність на тензорному добутку ${\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}}$, що позначається ${\displaystyle \nabla ^{1}\otimes \nabla ^{2}}$ :

${\displaystyle (\nabla ^{1}\otimes \nabla ^{2})_{X}(s_{1}\otimes s_{2})=\nabla _{X}^{1}s_{1}\otimes s_{2}+s_{1}\otimes \nabla _{X}^{2}s_{2}}$ ;

• Зв'язність на двоїстому розшаруванні E^* :

${\displaystyle X\cdot \lambda (s)=(\nabla _{X}\lambda )(s)+\lambda (\nabla _{X}s)}$ ;

• Зв'язність на розшаруванні ${\displaystyle End(E_{1},E_{2})}$ :

${\displaystyle \nabla _{X}(\phi (s))=(\nabla _{X}\phi )(s)+\phi (\nabla _{X}s)}$.

Нехай додатково до всіх понять введених вище також ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} — гладка крива і ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ тоді індукує перетин вздовж кривої ${\displaystyle s(t):=s(\gamma (t)).}$

Зв'язність ${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E)} однозначно визначає оператор ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s(t)}$ значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої.

Перетин ${\displaystyle s(t)}$ називається паралельним вздовж кривої ${\displaystyle \gamma (t)}$, якщо виконується умова

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s(t)=0,\;\;\forall t\in [0,1].}$

Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти систему диференціальних рівнянь і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення ${\displaystyle s(0).}$ Таким чином для даної кривої ${\displaystyle \gamma (t)}$ визначено відображення з векторного простору ${\displaystyle E_{\gamma (0)}}$ у векторний простір ${\displaystyle E_{\gamma (1)}}$, яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є лінійним ізоморфізмом цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором ${\displaystyle E_{\gamma (0)}}$ і просторами над усіма точками кривої ${\displaystyle \gamma (t)}$. Ці відображення називають паралельними перенесенями векторів з ${\displaystyle E_{\gamma (0)}}$ вздовж кривої ${\displaystyle \gamma (t).}$

Нехай E → M — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних диференціальних форм

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E).}$

Нехай також за означенням

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).\,}$

Тоді в цих позначеннях зв'язність на E → M є лінійним відображенням

${\displaystyle \nabla$ :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}

На просторах ${\displaystyle \Omega ^{r}(E)}$ можна ввести добуток. Нехай ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ — векторні розшарування над многовидом M. Тоді можна ввести білінійний добуток

${\displaystyle \wedge$ :\left(\Omega ^{i}(E_{1}),\Omega ^{j}(E_{2})\right)\to \Omega ^{i+j}(E_{1}\otimes E_{2}),}

прийнявши

${\displaystyle (\omega \otimes s)\wedge (\tau \otimes t)=\omega \wedge \tau \otimes (t\otimes s),\;\;\forall \;\omega \in \Omega ^{i}(M),\tau \in \Omega ^{j}(M),s,t\in \Gamma (E).}$

Також для ${\displaystyle E=M\otimes \mathbb {R} }$ множина ${\displaystyle \Omega ^{r}(E)}$ є ізоморфною до множини ${\displaystyle \Omega ^{r}(M)}$.

Тоді існує єдина множина лінійних операторів

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

для яких виконуються умови:

• ${\displaystyle d^{\nabla }=\nabla ,\;\;j=0}$
• ${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \wedge \tau )=d\omega \wedge \tau +(-1)^{i}\omega \wedge d^{\nabla }\tau ,\;\;\forall \;\omega \in \Omega ^{i}(M)\cong \Omega ^{i}(M\otimes \mathbb {R} ),\;\tau \in \Omega ^{j}(E).}$

А саме для ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{j}(M),s\in \Gamma (E)}$ дане відображення однозначно визначене як:

${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{j}\omega \wedge \nabla s.}$

Ці відображення можна розглядати як узагальнення зовнішньої похідної, проте у цьому випадку не обов'язково (d^∇)² = 0. Натомість оператор (d^∇)² є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.

Кривиною зв'язності ∇ на E → M є 2-форма F^∇ на M із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(E) = E⊗E*. Тобто

${\displaystyle F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Omega ^{2}(M)).}$

Її можна визначити рівністю

${\displaystyle F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

де X іY є векторними полями на M, а s є гладким перетином E.

Еквівалентно ${\displaystyle F^{\nabla }=d^{\nabla }\circ \nabla$ :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{2}(E).} Дане відображення є ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-лінійним гомоморфізмом модулів.

• Афінна зв'язність
• Векторне розшарування
• Зв'язність (диференціальна геометрія)
• Зв'язність на головних розшаруваннях
• Зв'язність Леві-Чивіти

• Chern, Shiing-Shen (1951). Topics in Differential Geometry. Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes.
• Darling, R. W. R. (1994). Differential Forms and Connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46800-0.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
• Koszul, J. L. (1950). Homologie et cohomologie des algebres de Lie. Bulletin de la Société Mathématique 78: 65–127.
• Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.
• Wells, R.O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.