Тунелювання

Вперше, ефект, аналогічний тунельному, був відкритий у оптиці — що не дивно, адже у фотонів хвильові властивості проявляються найбільш яскраво. Під час повного внутрішнього відбиття, світло проникає у речовину на невелику глибину (еванесцентна хвиля), експоненційно затухаючи з глибиною.[1]

У 1901 році, Роберт Френсіс Ерхарт, досліджуючи провідність газів між двома близько розташованими електродами (використовуючи інтерферометр Майкельсона для вимірівання відстані між ними), відкрив відхилення від закону Пашена, що існує на таких відстанях. У 1926, Франц Ротер, повторюючи дослід Ерхарта з більш чутливим гальванометром зміг виміряти рівень вакуумної еміссії електронів.[2]

У 1927 році Фрідріх Гунд описав тунельний ефект, обчислюючи основний квантовий стан частинки у w-подібному потенціалі.[3] У 1928 Георгій Гамов, і, незалежно від нього, Рональд Герні і Едвард Кондон використали теорію тунелювання для створення математичної моделі альфа-розпаду.[4] Ця модель дозволила пов'язати період напіврозпаду ядра і енергію частинок, що вилітають.

Відвідавши семінар Гамова, Макс Борн зрозумів загальність явища тунелювання. Він показав, що цей ефект стосується не лише ядерної фізики, але є універсальним результатом квантової механіки, що стосується великої кількості різноманітних систем. Відкриття напівпровідників, а також винаходження транзисторів і діодів призвело до розуміння принципів тунелювання електронів у твердих тілах. Роботи Лео Есакі, Айвара Джайєвера і Браяна Джозефсона передбачили тунелювання куперівських пар у надпровідниках, за що вони отримали нобелівську премію у 1973 році.

Тунелювання через бар'єр. Енергія частинки не змінюється, проте амплітуда ймовірності падає.

У класичній механіці, задача про проходження частинкою потенціального бар'єру є простою і однозначною: якщо кінетична енергія частинки менша за висоту бар'єру, то частинка ніколи не проходить бар'єр, а якщо навпаки — то завжди проходить. Проте, у квантовій теорії від математичної абстракції матеріальної точки довелося відмовитися, через те, що будь-яка частинка має хвильові властивості. В квантовій механіці частинки описуються хвильовими функціями, квадрат модуля яких задає густину ймовірності перебування частники в певній точці простору. Просторові розміри цих хвиль не є нехтуваними — наприклад, електрону з енергією 1 кЕв відповідає довжина хвилі майже в 10 разів більша за борівський радіус. [1] При товщині бар'єру, порівняному з довжиною хвилі, частинка має шанс пройти через бар'єр. Це явище називається тунелюванням, через те, що частинка не витрачає енергії при цьому — її кінетична енергія на виході з бар'єру така сама як і на вході.

Найбільш спрощене пояснення цього явища можна дати за допомогою співвідношення невизначенностей:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$,

Якщо вважати, що положення частинки визначено з точністю до товщини бар’єру, при цьому виникає невизначенність по імпульсу, що може підвищити кінетичну енергію частинки, і зробити її достатньою для переходу через бар’єр. [5]

Ймовірність проходження бар'єру залежить від його висоти, і від енергії налітаючої частинки, але перш за все, від товщини бар'єру — проміжку, в якому потенційна енергія частинки більша за кінетичну (цю область називають класично недоступною областю). З ростом товщини, вона спадає експоненційно. При цьому, важливе співвідношення між довжиною дебройлівської хвилі частинки і товщиною бар'єру. Для важких частинок, таких як альфа-частинки, або протони, довжина хвилі є у тисячі разів меншою, ніж для електронів, а через це, ймовірність проходження навіть тонких бар'єрів є дуже малою. Наприклад, у ядрі радію альфа-частинка долає створений ядерними силами потенціальний бар'єр з ймовірністю лише 3•10^-32, а для більш стабільних ядер ця величина ще менша[6]. З іншого боку, електрони провідності в напівпровідниках характеризуються ефективними масами, які можуть бути набагато меншими від маси вільних електронів, що дозволяє створювати тунельні діоди із шириною бар'єру в кілька десятків нанометрів.

Анімація проходження частинкою високого та тонкого бар’єру. Зверніть увагу на інтерференцію падаючої та відбитої хвилі

Розглянемо рівняння Шредінгера для одновимірної системи і прямокутного бар'єру товщиною a. Оскільки U є стаціонарним, ми можемо скористатись формою, незалежною від часу:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x,t)=(E-U(x))\psi (x,t)}$,

де Е — кінетична енергія частинки, ${\displaystyle \hbar }$ - зведена стала Планка а U(x) — потенціальна енергія частинки. Будемо шукати розв'язки виду:

${\displaystyle \psi =\phi (x)e^{-{\frac {iEt}{\hbar }}}}$,

Тоді залежну від координати частину рівняння можна записати як

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=(E-U(x))\phi (x)}$

Оскільки U має прямокутну форму, можна записати його як

${\displaystyle {\begin{cases}U(x)=0,&x<0\\U(x)=U_{0},&0\geq x<a\\U(x)=0,&x\geq a\end{cases}}}$

Для лівої ділянки, тобто, до зіткнення, рівняння має форму

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi =E\phi }$

Воно має два розв'язки, e^ikx і e^-ikx, де ${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$. Таким чином, на цьому проміжку, функція має вигляд

${\displaystyle \phi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$, де A і B — деякі коефіцієнти.

Аналогічно, всередині бар'єру, функція буде мати вигляд

${\displaystyle \phi (x)=Ce^{-iqx}+De^{iqx}}$, де ${\displaystyle q={\frac {\sqrt {2m(U_{0}-E)}}{\hbar }}}$,

При цьому, з фізичних міркувань, D=0, адже вираз при ньому експоненційно зростає при заглибленні в бар'єр, що не має сенсу. Ми можемо поєднати ці два рішення, виходячи з припущення про нерозривність хвильової функції та її першої похідної у точці 0. Таким чином, рівняння для φ буде мати наступний вигляд (A покладене рівним 1):

${\displaystyle {\begin{cases}\phi =e^{ikx}+{\frac {1-i{\sqrt {U_{0}/E-1}}}{1+i{\sqrt {U_{0}/E-1}}}}e^{-ikx},&x<0\\\phi ={\frac {2e^{-qx}}{1+i{\sqrt {U_{0}/E-1}}}},&x>0\end{cases}}}$

З цього рівняння видно, що сліва від бар'єру, хвильова функція представлена суперпозицією двох хвиль, хвилі, що рухається вправо (e^ikx) і хвилі, що рухається вліво (e^-ikx). Ці компоненти можна співставити з падаючою і відбитою хвилею. Але з другого рівняння, для х>0, можна бачити, що хвильова функція проникає за бар'єр, і експоненційно спадає у цій зоні. Для великих значень x, амплітуда ймовірності частинки прямує до нуля. Так само, оскільки q прямує до нескінченності при зростанні U₀, для нескінченно високого бар'єру тунелювання також не відбувається. Ці два випадки відповідають класичному переходу у поведінці частинки.

Також, з рівняння можна бачити, що амплітуда відбитої хвилі не є рівною нулю навіть у випадку E>U₀, тобто, частинка може відбитися від бар'єру, висота якого є меншою за його кінетичну енергію. Це явище носить назву надбар'єрне відбиття. Розрахунки показують, що ймовірність пройти бар'єр, висота якого рівна енергії частинки — ½.[1]

Для обчислення ймовірності тунелювання через бар'єр зі складною формою, його розбивають на тонкі ділянки, які можна вважати прямокутними, а потім інтегрують отримані значення ймовірності по всій товщині бар'єру.

Для практичних обчислень часто використовують величину, коефіцієнт проходження бар’єру або коефіцієнт прозорості, що дорівнює для прямокутного бар’єру:

${\displaystyle D~{\cong }~D_{0}e^{-{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m(U_{0}-E)a}}}}$,

де :${\displaystyle D_{0}=16{\frac {k^{2}\chi ^{2}}{(k^{2}+\chi ^{2})^{2}}}}$, де ${\displaystyle k^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E}$ a ${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(U_{0}-E)}$ (ця величина близька до одиниці).

У випадку бар’єру довільної форми формула перетворюється на:

${\displaystyle D~{\cong }~{D_{0}}e^{-{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(U(x)-E)}}dx}}}$

• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Леонид Пономарев. Глава 15 // Под знаком кванта. — 4. — М. : "Физматлит", 2012. — 464 с. — ISBN 978-5-9221-1368-7.
• Вакарчук I. О. Найпростiшi задачi квантової механіки // Квантова механiка. — 4. — Львів : ЛНУ iменi Iвана Франка, 2012. — 872 с. — ISBN 978-966-613-921-7.