Краса математики

Математики часто називають елегантним метод доведення, який має одну або декілька з таких властивостей:

• Мінімум початкових постулатів або попередніх результатів.
• Гранична лаконічність.
• Незвичність побудови (наприклад, за допомогою теорем з іншої галузі математики).
• Використання нових, оригінальних ідей.
• Можливість узагальнення для розв'язання схожих задач.

У пошуках елегантного доведення математики використовують найрізноманітніші способи розв'язання задачі, оскільки перше знайдене доведення не обов'язково є найкращим. Рекордсменом за кількістю доведень (кілька сотень) є, ймовірно, теорема Піфагора.[2] Інша відома теорема, доведена багатьма способами — квадратичний закон взаємності, для якої тільки Карл Фрідріх Гаусс опублікував 8 доведень, заснованих на абсолютно різних ідеях. На противагу елегантному, логічно коректне доведення з використанням трудомістких обчислень, надскладних методів, традиційних підходів, значного числа аксіом або доведень інших теорем називають грубим або незграбним.

Деякі математики[3] вважають красивим розв'язок задачі, що встановлює зв'язок між галузями математики, які раніше вважалися непов'язаними. Такий результат часто називають глибоким. Одним з найвідоміших прикладів є тотожність Ейлера:[4]

${\displaystyle \displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.}$

Цей особливий випадок формули Ейлера фізик Річард Фейнман назвав «нашим скарбом» і «найчудовішою формулою математики».[5] Теорема про модулярність, за доведення якої Ендрю Вайлс і Роберт Ленглендс отримали премію Вольфа, встановлює важливий взаємозв'язок між еліптичними кривими і модулярними формами. Гіпотеза жахливої нісенітниці (англ. monstrous moonshine) пов'язує просту скінченну групу монстр з модулярними функціями через теорію струн — результат, за який Річарда Борхердса нагороджено Філдсівською премією.

Глибоким результатом також є виявлення несподіваних аспектів математичних структур. Наприклад, Theorema Egregium Гаусса — основна теорема теорії поверхонь — встановлює зв'язок між локальним явищем (кривиною) і глобальним (площею). Зокрема, площа трикутника на викривленій поверхні пропорційна його надлишку, причому коефіцієнт пропорційності визначається кривиною. Інший приклад — основна теорема аналізу (і її векторні варіанти, серед яких теорема Гріна і теорема Стокса).

Протилежністю глибокому результату є тривіальний. До таких можна віднести результати, що безпосередньо випливають з інших відомих результатів або застосовні тільки до специфічних об'єктів, таких як порожня множина. Втім, можливі випадки, коли формулювання теореми може бути досить оригінальним, щоб вважатися глибокою, навіть якщо її доведення цілком очевидне.

У книзі «Апологія математика» Годфрі Харді припускає, що гарне доведення або результат повинні володіти «несподіванкою в поєднанні з непохитністю і економічністю».[6] Несподіванка була найважливішим моментом багатьох математичних результатів Срініваси Рамануджана.

Італійський математик Джан-Карло Рота, проте, не визнає несподіванку достатньою умовою краси, наводячи такий контрприклад:

Дуже багато математичних теорем виявлялися несподіваними після їх опублікування; наприклад, близько двадцяти років тому (в 1957 році - прим.) доказ існування нееквівалентних диференційовних структур на сферах великої розмірності здавалося несподіваним, але нікому б і в голову не прийшло назвати цей факт красивим ні тоді, ні зараз.[7]

М. І. Монастирський з легкою іронією пише:

Дуже важко знайти в минулому винаходи, аналогічні мілноровим вражаючим конструкціям різних диференціальних структур на семивимірній сфері... Первісне доведення Мілнора було не дуже конструктивним, однак Е. Бріскорн показав, що такі структури можна описати в досить наочній і красивій формі.[8]

Ця розбіжність у думках ілюструє як суб'єктивність сприйняття математичної краси, так і її зв'язок з результатом: доведення існування екзотичних сфер справляє менше враження, ніж реалізація їх моделей.

«Холодна суворість» складеного багатогранника

Інтерес до чистої математики, відмінний від емпіричних досліджень, відзначається у багатьох цивілізацій, як от у давньогрецької, де «математикою займалися заради її краси»[9]. Проте, математичну красу можна відчути й за межами чистої математики. Наприклад, фізики отримують естетичну насолоду від загальної теорії відносності Ейнштейна, яку Поль Дірак пояснював її «великою математичною красою»[10].

Нерідко математики розробляли нову галузь математики, яка спочатку не мала практичного застосування, але через певний час фізики помічали, що ці абстрактні математичні обчислення відбивають результати їхніх спостережень. Наприклад, теорія груп, розроблена на початку 1800-х років, єдиною метою якої була можливість розв'язання поліноміальних рівнянь, виявилася найбільш підхожим способом категоризації елементарних частинок — будівельних блоків матерії. Так само сталося і з теорією вузлів, де вузол розглядався лише як математичний об'єкт, але пізніше вона зробила значний внесок у теорію струн і теорію петльової квантової гравітації.

Отримання задоволення від маніпуляцій з числами і символами вимагає певного залучення в заняття математикою, тому будь-яке технологічне суспільство, що використовує цей надзвичайно корисний інструмент, неминуче відкриває її естетичний аспект. Пасивне ж спостереження не дозволяє оцінити всю силу математичної краси, оскільки її реципієнтами не є аудиторія або глядач у їх класичному розумінні[11]. Бертран Рассел називав красу математики суворою.

Френсіс Гатчесон у «Дослідженні про походження наших ідей краси і чесноти у двох трактатах» (1725) виділив такі характеристики естетичної краси математики:

• єдність у різноманітті;
• ідеал загальності наукових істин;
• набуття неочевидної істини, здогадки про яку вимагають доведень[12].

Одна з множин Жуліа

Пал Ердеш вважав так: коли розв'язок задачі був правильним, але здавався йому негарним, недостатньо витонченим і лаконічним, він зазвичай говорив: «Чудово, але давайте пошукаємо доведення з Книги» (тобто ідеального, платонічного збірника всіх математичних результатів, відомих і невідомих)[13]. Таким чином, усе записане в Книзі і математики лише читають її. Послідовники Ердеша Мартін Айгнер і Ґюнтер Ціглер опублікували книгу[14], яка за п'ять років витримала три перевидання і була перекладена декількома мовами.

Дехто з математиків дотримується думки, що досягнення їхньої науки можна з більшим правом називати не винаходом, а відкриттям, яке, за своїм змістом, ближче до відшукання:

Ви не знайдете дослідника, поета, художника, музиканта, який не скаже, що знайшов своє відкриття, вірш або картину готовими — що вони прийшли ззовні, а не були створені ним усвідомлено зсередини.

Оригінальний текст (англ.)

There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture – that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within.

— Вільям Кінгстон Кліффорд, із лекції в Королівському інституті на тему «Деякі умови розвитку мислення»

Крім того, математики, які дотримуються подібної точки зору, вважають, що докладні і точні результати математики можна справедливо вважати істинними незалежно від будови Всесвіту, в якому ми живемо. Наприклад, вони стверджують, що теорія натуральних чисел обґрунтована таким чином, що принципово не вимагає конкретного контексту розгляду. Найрадикальніші з них приписують математичній красі абсолютну істинність, тим самим тяжіючи до містицизму.

Піфагорійці вірили в буквальну реальність чисел. Тому відкриття ірраціональних чисел стало тим більше для них дивним, оскільки можливість відношення двох натуральних чисел вони вважали свідченням недосконалості природи, невимовним — алогос (піфагорійський світогляд нічого не говорило про границі нескінченних послідовностей відношень натуральних чисел). Із сучасної точки зору такий містичний підхід, що передбачав єдність і нероздільність чисел і геометричних об'єктів, можна назвати нумерологією.

У філософії Платона існували два світи: світ речей, у якому ми живемо, і світ ідей, які необхідні для існування реального світу. У світ ідей входили також математичні ідеї.

Угорський математик Пал Ердеш вірив в існування уявної книги, в якій бог записав усі найпрекрасніші математичні доведення. І коли Ердеш хотів висловити захоплення доведенням, він вигукував: «О, це з Книги!».

Французький філософ XX століття Ален Бадью стверджує, що онтологія за своєю природою математична, оскільки математика може помислити множину як таку, а буття є непостійна множинність.

Дуже часто філософи-натуралісти й інші вчені, що широко користуються математичним методом, робили безпідставні висновки про зв'язок краси з істиною, які згодом виявлялися помилковими. Наприклад, на одному етапі свого життя Йоганн Кеплер вважав, що пропорції орбіт відомих у його час планет Сонячної системи встановлені Богом у відповідності з концентричним розташуванням п'яти платонівських тіл таким чином, що кожна з орбіт одночасно була розташована на сфері описаній навколо одного багатогранника і вписаній в наступний.

У 1970-х роках Абраам Моль і Фрідер Наке проаналізували зв'язок між красою, обробкою інформації та теорією інформації. У 1990-х роках Юрґен Шмідгубер сформулював математичну теорію, яка залежить від спостерігача і його суб'єктивного бачення краси, на основі алгоритмічної теорії інформації: найгарніші об'єкти серед тих, що суб'єкту здаються порівнянними між собою, мають короткі алгоритмічні описи, (тобто складність Колмогорова), і відносяться до того, що спостерігач вже знає. При цьому Шмідгубер проводить чітку межу між красивим і цікавим. Останнє відповідає першій похідній суб'єктивно сприйманої краси: спостерігач постійно намагається збільшити передбачуваність і стиснути спостережувані дані, виявляючи такі закономірності як повторення і симетрію, фрактальну самоподібність. Однак, щоразу коли процес навчання спостерігача (для цього можна використовувати прогнозувальну штучну нейронну мережу) дозволяє краще стиснути дані, тобто нинішнє спостереження можна описати меншою кількістю бітів, ніж попереднє, і відрізок часу, на якому спостерігач виявляє зацікавленість, відповідає коефіцієнту успішного стиснення і пропорційний власній винагороді спостерігача за свою цікавість, йдеться про цікаве, а не про красиве.

• Апологія математика
• Історія математики
• Давньогрецька математика
• Математика та мистецтво
• Математика та архітектура
• Фрактал

• Г. Х. Харди. Апологія математика (Перевод с английского Ю. А. Данилова). — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 104 с. ISBN 5-89806-035-9
• Успенский В. А. Апология математики. М: Амфора, 2009.
• Дуран А. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. / Пер. с исп. М: Де Агостини, 2014, 160 с. ISBN 978-5-9774-0682-6, ISBN 978-5-9774-0722-9.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. / Пер. с нем. М., Мир, 1993, 208 с. ISBN 5-03-001296-6.
• Aigner, Martin, and Ziegler, Gunter M. (2003), Proofs from THE BOOK, 3rd edition, Springer-Verlag (есть русский перевод).
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
• Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
• Hardy, G.H. (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C.P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
• Hoffman, Paul (1992), The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion.
• Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
• Loomis, Elisha Scott (1968), The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
• Lang, Serge (1985). The Beauty of Doing Mathematics: Three Public Dialogues. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
• Peitgen, H.-O., and Richter, P.H. (1986), The Beauty of Fractals, Springer-Verlag.
• Reber, R., Brun, M., & Mitterndorfer, K. (2008). The use of heuristics in intuitive mathematical judgment. Psychonomic Bulletin & Review, 15, 1174—1178.
• Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
• Rota, Gian-Carlo. The phenomenology of mathematical beauty // Synthese : journal. — 1997. — Vol. 111, no. 2 (16 February). — P. 171—182. — DOI:10.1023/A:1004930722234.
• Monastyrsky, Michael. Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal // Can. Math. Soc. Notes : journal. — 2001. — Vol. 33, no. 2 and 3 (16 February).

• Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has looked on beauty bare
• Terence Tao, What is good mathematics?
• Математика як мистецтво
• A Mathematical Romance Jim Holt, December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel