Лоренцеве укорочення

Довжина стиснення може бути отримана з перетворень Лоренца декількома способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Нехай в інерціальній системі відліку S ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ позначають кінці об'єкта, що рухається. Тоді його довжина ${\displaystyle L}$ визначається через одночасне положення кінців, коли ${\displaystyle t_{1}=t_{2}\,}$. Власну довжину об'єкта в S' можна розрахувати через перетворення Лоренца. Перетворення часових координат з S в S' призводить до різних значень часу. Однак це не проблема, тому що об'єкт перебуває в стані спокою в S' і не має значення, в який момент часу проведені вимірювання. Тому досить зробити перетворення просторових координат, що дає:[6]

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right).}$

Оскільки ${\displaystyle t_{1}=t_{2}\,}$, і, поклавши ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}\,}$ і ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$, власна довжина в S' виходить

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}},}$

Відповідно до цього довжина, виміряна в S, виходить зменшеною

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}}$

Відповідно до принципу відносності, об'єкти, що перебувають у стані спокою в S, будуть так само зменшені в S'. Помінявши симетрично не штриховані і штриховані позначення:

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}}$

Тоді зменшена довжина, яка вимірюється в S' :

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}}$

І навпаки, якщо об'єкт перебуває в стані спокою в S і відома його власна довжина, одночасність вимірювань в кінцях об'єкта слід розглядати в іншому кадрі S', оскільки об'єкт постійно змінює своє положення. Таким чином, необхідно перетворити і просторові і часові координати[22]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),&&&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right),&&&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ і ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$, то отримані результати не одночасні:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma L_{0}\\\Delta t'&=\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}$

Для отримання одночасних положень обидвох кінців, необхідно відняти від відстані ${\displaystyle \Delta x'}$ відстань, пройдену другим кінцем зі швидкістю ${\displaystyle v}$ протягом часу ${\displaystyle \Delta t'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'-v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}$

Таким чином довжина рухомого об'єкта в S' зменшилася. Точно так само можна розрахувати симетричний результат для об'єкта, що перебуває в стані спокою в S':

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

Скорочення довжини також може бути отримане з уповільнення часу[23], згідно з яким швидкість одного годинника «в русі» (із зазначенням його власного часу ${\displaystyle T_{0}}$) нижча відносно двох синхронізованих годинників «у стані спокою» (позначеного як ${\displaystyle T}$). Сповільнення часу було експериментально підтверджене і представляється співвідношенням:

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$.

Нехай стрижень власної довжини ${\displaystyle L_{0}}$ в стані спокою в ${\displaystyle S}$ і годинник в стані спокою в ${\displaystyle S'}$ рухаються один щодо одного. Відповідні шляхові часи годинників між кінцями стрижня задаються ${\displaystyle T=L_{0}/v}$ в ${\displaystyle S}$ і ${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$ в ${\displaystyle S'}$, отож ${\displaystyle L_{0}=Tv}$ і ${\displaystyle L'=T'_{0}v}$. Вставивши формулу сповільнення часу, співвідношення між цими довжинами є:

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$.

Таким чином, довжина, виміряна в ${\displaystyle S'}$, задається

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$.

Так те, що рухомий годинник вказує на менший час руху в ${\displaystyle S}$ завдяки уповільненню часу, інтерпретується в ${\displaystyle S'}$ через скорочення довжини рухомого стрижня. Точно так само, якщо годинник був у стані спокою в ${\displaystyle S}$ і стрижень в ${\displaystyle S'}$,вищевказана процедура даватиме

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$.

Кубоїди в евклідовому і Мінковського просторі-часі

Додаткові геометричні міркування показують, що скорочення довжини можна розглядати як тригонометричне явище за аналогією з паралельними розрізами паралелепіпеда до і після обертання в E³ (див. ліву половину малюнку справа). Це евклідовий аналог розширення кубоїда в E^1,2. В останньому випадку, однак, ми можемо інтерпретувати збільшений кубоїд як світову плиту.

Зліва на малюнку: повернутий паралелепіпед у тривимірному евклідовому просторі E³. Після обертаня перетин більший. На малюнку справа: розширений кубоїд світової плити в просторі-часі Мінковського (в якому одна просторова розмірність закріплена) E^1,2. Перетин у цьому разі після повороту тонший. В обох випадках поперечні розміри не змінюються, і три площини у кожній вершині кубоіда взаємно ортогональні (у сенсі E^1,2 праворуч, і в сенсі E³ ліворуч).

У спеціальній теорії відносності перетворення Пуанкаре є класом афінних перетворень, які можна охарактеризувати як перетворення між альтернативними графіками на декартових координатах на просторі-часі Мінковського, що відповідають альтернативним станам інерційного руху (а також різним виборам початку координат). Перетворення Лоренца є перетвореннями Пуанкаре, які є лінійними перетвореннями, що зберігають початок відліку. Перетворення Лоренца грають таку ж роль у геометрії Мінковського (група Лоренца утворює групи ізотропії самоізометрій простору-часу), як і обертання в геометрії Евкліда. Справді, спеціальна теорія відносності в значній мірі зводиться до вивчення свого роду неевклідової тригонометрії в просторі-часі Мінковського, як показано в наступній таблиці: