Питання еквівалентності маси та енергії
Ця стаття включає опис терміну «E=mc2»; див. також інші значення.
Еквівале́нтність ма́си та ене́ргії — фізична концепція (в царині теорії відносности), згідно з якою енергія фізичного об'єкта (фізичної системи) дорівнює його (її) масі, помноженій на розмірний множник квадрата швидкости світла у вакуумі:
де — енергія об'єкта, — його маса, — швидкість світла у вакуумі, що дорівнює 299 792 458 м/с.
Залежно від того, що розуміють під термінами «маса» та «енергія», дану концепцію може бути інтерпретовано двозначно:
- З одного боку, концепція означає, що інваріантна маса тіла (так звана маса спокою) дорівнює (з точністю до множника ) енергії, укладеної в ньому, (так званої енергії спокою, тобто в широкому сенсі внутрішньої енергії цього тіла)[1],
де — енергія спокою тіла, — його інваріантна маса;
- З іншого боку, можна стверджувати, що будь-якого виду енергії (не обов'язково внутрішньої) фізичного об'єкта (не обов'язково тіла) відповідає певна маса; наприклад, було введено поняття релятивістської маси, що дорівнює (з точністю до множника ) повній (включаючи кінетичну) енергії рухомого об'єкту[2],
де — повна енергія об'єкта, — його релятивістська маса.
Перша інтерпретація не є окремим випадком другої, тому що, хоча енергія спокою є окремим випадком енергії, інваріантна маса не є окремим випадком релятивістської, це дві різні фізичні величини[3].
У сучасній теоретичній фізиці концепцію еквівалентності маси і енергії зазвичай використовується в першому сенсі[4]. Головною причиною, чому приписування маси будь-якого виду енергії вважається невдалим, є наступна з цього повна синонімічність понять маси і енергії. Крім того, неакуратне використання такого принципу може заплутувати і в кінцевому підсумку не є виправданим. Таким чином, у даний час термін «релятивістська маса» у професійній літературі практично не зустрічається, а коли йдеться про масу, мається на увазі інваріантна маса. У той же час термін «релятивістська маса» використовується для якісних міркувань у прикладних питаннях, а також в освітньому процесі та в науково-популярній літературі. При цьому під цим терміном розуміється збільшення інертних властивостей рухомого тіла.
У найуніверсальнішій формі принцип був сформульований вперше Альбертом Ейнштейном у 1905 році, однак уявлення про зв'язок енергії та інертних властивостей тіла розвивалися і в більш ранніх роботах інших дослідників.
У сучасній культурі формула є чи не найвідомішою з усіх фізичних формул, що обумовлюється її зв'язком з атомною зброєю. Крім того, саме ця формула є символом теорії відносності і широко використовується популяризаторами науки[5].
Енергія спокою
Історично поняття енергії спокою вперше було сформульовано при побудові спеціальної теорії відносності Альбертом Ейнштейном. Ним було показано, що для частинки, що вільно рухається, а також вільного тіла і взагалі будь-якої замкнутої системи частинок, виконуються наступні співвідношення[6]:
де , , , — енергія, імпульс, швидкість і маса частинки відповідно, — швидкість світла у вакуумі. З цих виразів видно, що у релятивістській механіці, навіть коли швидкість і імпульс тіла дорівнюють нулю, його енергія у нуль не обертається[7], залишаючись рівною деякій величині, яка визначається масою тіла:
Ця величина зветься енергія спокою[8]. На підставі цього факту, Ейнштейном було зроблено висновок, що маса тіла є однією з форм енергії[1], і тим самим, що закони збереження маси і енергії поєднані одним законом збереження[9].
Енергія та імпульс тіла є компонентами 4-вектора енергії-імпульсу (4-імпульсу)[10] (енергія — часовий, імпульс — просторові компоненти), і відповідним чином перетворюються при переході з однієї системи відліку в іншу, а маса тіла є лоренц-інваріантом, залишаючись при переході в інші системи відліку сталою, і маючи сенс модуля вектора чотирихімпульсу.
Слід також зазначити, що попри те, що енергія і імпульс частинок адитивні[11], тобто для системи часток маємо:
(1) |
маса частинок адитивною не є[6]. Тобто маса системи частинок, у загальному випадку, не дорівнює сумі мас часток, що її складають.
Таким чином, енергія (неінваріантна, адитивна, часова компонента чотириімпульсу) і маса (інваріантна, неадитивний модуль чотирихімпульсу), це дві різні фізичні величини[3].
4-імпульс дорівнює добутку інваріантної маси на 4-швидкість тіла.
Це співвідношення слід вважати аналогом у спеціальній теорії відносності класичного визначення імпульсу через масу і швидкість.
Поняття релятивістської маси
Після того, як Ейнштейн запропонував принцип еквівалентності маси і енергії, стало очевидно, що поняття маси може інтерпретуватися неоднозначно. З одного боку, це інваріантна маса, яка фігурує у класичній фізиці, з іншого — можна ввести так звану релятивістську масу еквівалентну повній (включаючи кінетичну) енергії фізичного об'єкта[2]:
- .
де — релятивістська маса, — повна енергія об'єкта.
Для масивного об'єкта (тіла) ці дві маси пов'язані між собою співвідношенням:
де — інваріантна («класична») маса, — швидкість тіла.
Енергія і релятивістська маса, це одна, і та ж, фізична величина (неінваріантна, адитивна, тимчасова компонента чотирьохімпульсу)[3].
Еквівалентність релятивістської маси й енергії означає, що у всіх системах відліку, енергія фізичного об'єкта (з точністю до множника ) дорівнює його релятивістській масі[3][12].
Введена таким чином релятивістська маса є коєфіцієнтом пропорційності між тривимірним («класичним») імпульсом і швидкістю тіла[2]:
Аналогічне співвідношення виконується в класичній фізиці для інваріантної маси, що також наводиться як аргумент на користь введення поняття релятивістської маси. Це в подальшому призвело до тези, що маса тіла залежить від швидкості його руху[13].
У процесі створення теорії відносності обговорювалися поняття поздовжньої і поперечної маси масивної частинки (тіла). Нехай сила, що діє на тіло, дорівнює швидкості зміни релятивістського імпульсу. Тоді зв'язок сили і прискорення істотно змінюється у порівнянні з класичною механікою:
Якщо швидкість перпендикулярна силі, то а якщо паралельна, то де — релятивістський фактор. Тому називають поздовжньою масою, а — поперечною
Твердження про те, що маса залежить від швидкості, увійшло у багато навчальні курсів і у силу своєї парадоксальності набуло широкої популярності серед неспеціалістів. Проте у сучасній фізиці уникають використовувати термін «релятивістська маса», використовуючи замість нього поняття енергії, а під терміном «маса» розуміючи інваріантну масу (масу спокою). Зокрема, виділяються такі недоліки введення терміна «релятивістська маса»[4]:
- Неінваріантність релятивістської маси щодо перетворень Лоренца;
- Синонімічність понять енергія і релятивістська маса, і, як наслідок, надмірність введення нового терміну;
- Наявність різних за величиною поздовжньої і поперечної релятивістських мас і неможливість однакового запису аналога другого закону Ньютона у вигляді.
- Методологічні складності викладання спеціальної теорії відносності, наявність спеціальних правил, коли і як слід користуватися поняттям «релятивістська маса», щоб уникнути помилок;
- Плутанина у термінах «маса», «маса спокою» і «релятивістська маса»: частина джерел просто масою називають одне, частина — інше.
Незважаючи на зазначені недоліки, поняття релятивістської маси використовується і в навчальній[14], і в науковій літературі. Слід, зазначити, що у наукових статтях поняття релятивістської маси використовується здебільшого тільки при якісних міркуваннях як синонім збільшення інертності частинки, що рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла.
Гравітаційна взаємодія
У класичній фізиці гравітаційна взаємодія описується законом всесвітнього тяжіння Ньютона, і його величина визначається гравітаційною масою тіла[15], яка з високим ступенем точності дорівнює за величиною інертній масі, про яку йшла мова вище, що дозволяє говорити про просто масу тіла[16].
У релятивістській фізиці гравітація підпорядковується законам загальної теорії відносності, в основі якої лежить принцип еквівалентності, що полягає у невідмінності явищ, які відбуваються локально в гравітаційному полі, від аналогічних явищ в неінерційній системі відліку, що рухається з прискоренням, яке рівне прискоренню вільного падіння у гравітаційному полі. Можна показати, що даний принцип еквівалентний твердженням про рівність інертної і гравітаційної мас[17].
У загальній теорії відносності енергія відіграє ту ж роль, що і гравітаційна маса у класичній теорії. Величина гравітаційної взаємодії у цій теорії визначається так званим тензором енергії-імпульсу, що є узагальненням поняття енергії[18].
У простому випадку точкової частинки у центрально-симетричному гравітаційному полі об'єкта, маса якого багато більше маси частинки, сила, що діє на частинку, визначається виразом[4]:
де G — гравітаційна стала, M — маса важкого об'єкта, E — повна енергія частинки, v — швидкість частинки, — радіус-вектор, що проведено з центру важкого об'єкта у точку знаходження частинки. З цього виразу видно головну особливість гравітаційної взаємодії у релятивістському випадку у порівнянні з класичною фізикою: воно залежить не тільки від маси частинки, але й від величини та напрямку її швидкості. Остання обставина, зокрема, не дозволяє ввести однозначним чином якусь ефективну гравітаційну релятивістську масу, яка б зводила закон тяжіння до класичного виду[4].
Граничний випадок безмасової частки
Важливим граничним випадком є випадок частки, маса якої дорівнює нулю. Прикладом такої частки є фотон — частка-носій електромагнітної взаємодії[19]. З наведених вище формул випливає, що для такої частки справедливі наступні співвідношення:
Таким чином, частка з нульовою масою незалежно від своєї енергії завжди рухається зі швидкістю світла. Для безмасових часток введення поняття «релятивістської маси» в особливій мірі не має сенсу, оскільки, наприклад, при наявності сили у поздовжньому напрямку швидкість частинки постійна, а прискорення, отже, дорівнює нулю, що вимагає нескінченної за величиною ефективної маси тіла. У той же час, наявність поперечної сили призводить до зміни напрямку швидкості, і, отже, «поперечна маса» фотона має кінцеву величину.
Аналогічно безглуздо для фотона вводити ефективну гравітаційну масу. У разі центрально-симетричного поля, розглянутого вище, для фотона, що падає вертикально вниз, вона дорівнюватиме , а для фотона, що летить перпендикулярно напрямку на гравітаційний центр, — [4].
Практичне значення
Отримана Альбертом Ейнштейном еквівалентність маси тіла до енергії, що була запасена у тілі, стала одним з головних практично важливих результатів спеціальної теорії відносності. Співвідношення показало, що у речовині закладені величезні (завдяки квадрату швидкості світла) запаси енергії, які можуть бути використані у енергетиці і військових технологіях[21].
Кількісні співвідношення між масою і енергією
У міжнародній системі одиниць SI відношення енергії і маси E/m виражається у джоулях на кілограм, і воно чисельно дорівнює квадрату значення швидкості світла c у метрах за секунду):
- E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0×1016 джоулів на кілограм).
Таким чином, 1 грам маси еквівалентний наступним значенням енергії:
- 89,9 тераджоулів (89,9 ТДж)
- 25,0 мільйонів кіловат-годин (25 ГВт·год),
- 21 500 000 000 кілокалорій (≈ 21 Ткав),
- 21,5 кілотонн у тротиловому еквіваленті (≈21 кт).
У ядерній фізиці часто застосовується значення відношення енергії та маси, виражене у мегаелектронвольтах на атомну одиницю маси — ≈931,494 МеВ/а.о.м.
Приклади взаємоперетворення енергії спокою і кінетичній енергії
Енергія спокою здатна переходити у кінетичну енергію частинок у результаті ядерних та хімічних реакцій, якщо у них маса речовини, що вступила у реакцію, більше маси речовини після реакції. Прикладами таких реакцій є[4]:
- Анігіляція пари частинка-античастинка з утворенням двох фотонів. Наприклад, при анігіляції електрона та позитрона утворюється два гамма-кванти, і енергія спокою пари повністю переходить в енергію фотонів:
- Термоядерна реакція синтезу атому гелію з протонів і електронів, у якій різниця мас гелію і протонів перетворюється у кінетичну енергію гелію і енергію електронних нейтрино
- Реакція поділу ядра урану-235 при зіткненні з повільним нейтроном. При цьому ядро ділиться на дві частини з меншою сумарною масою з випусканням двох або трьох нейтронів і звільненням енергії близько 200 МеВ, що становить близько 1 відсотка від маси атома урану. Приклад такої реакції:
У цій реакції виділяється близько 35,6 МДж теплової енергії на кубічний метр метану, що становить близько 10−10 від його енергії спокою. Таким чином, у хімічних реакціях перетворення енергії спокою у кінетичну енергію значно нижче, ніж у ядерних.
Важливо відзначити, що у практичних застосуваннях перетворення енергії спокою у енергію випромінювання рідко відбувається зі стовідсотковою ефективністю. Теоретично досконалим перетворенням було б зіткнення матерії з антиматерією, однак у більшості випадків замість випромінювання виникають побічні продукти і внаслідок цього тільки дуже мала кількість енергії спокою перетворюється в енергію випромінювання.
Існують також зворотні процеси, що збільшують енергію спокою, а отже і масу. Наприклад, при нагріванні тіла збільшується його внутрішня енергія, у результаті чого зростає маса тіла. Інший приклад — зіткнення частинок. У подібних реакціях можуть народжуватися нові частинки, маси яких істотно більше, ніж у вихідних. «Джерелом» маси таких частинок є кінетична енергія зіткнення.
Історія і питання пріоритету
Уявлення про масу, що залежить від швидкості, і про зв'язок між масою і енергією почало формуватися ще до появи спеціальної теорії відносності. Зокрема, у спробах узгодити рівняння Максвелла з рівняннями класичної механіки деякі ідеї були висунуті у статтях Миколи Умова, Дж. Дж. Томсона, Олівера Гевісайда, Роберта Сирла, Макса Абрагама, Гендріка Лоренца та Анрі Пуанкаре[5]. Однак тільки у Альберта Ейнштейна ця залежність універсальна, не пов'язана з ефіром і не обмежена електродинамікою[22].
Вважається, що вперше спроба пов'язати масу й енергію була зроблена в роботі Дж. Дж. Томсона, що з'явилася у 1881 році[4]. Томсон у своїй роботі вводить поняття електромагнітної маси, називаючи так внесок, що привносить в інертну масу зарядженого тіла електромагнітне поле, що створюється цим тілом[23].
Ідея наявності інерції у електромагнітного поля присутня також і в роботі Гевісайда, що вийшла в 1889 році[24]. Виявлені у 1949 році чернетки його рукописів вказують на те, що десь у цей же час, розглядаючи задачу про поглинання і випромінювання світла, він отримує співвідношення між масою і енергією тіла у вигляді [25][26].
У 1900 році Анрі Пуанкаре опублікував роботу, у якій прийшов до висновку, що світло як переносник енергії повинне мати масу, яка визначається виразом де E — енергія, яку переносить світло, v — швидкість переносу[27].
У роботах Макса Абрагама (1902 рік) і Гендріка Лоренца (1904 рік) було вперше встановлено, що для рухомого тіла не можна ввести єдиний коефіцієнт пропорційності між його прискоренням і силою, що діє на нього. Ними були введені поняття поздовжньої і поперечної мас. Ці поняття за допомогою другого закону Ньютона застосовувались для опису динаміки частки, що рухається зі швидкістю близької до швидкості світла[28][29]. Так, Лоренц у своїй роботі писав[30]:
|
Експериментально залежність інертних властивостей тіл від їх швидкості була продемонстрована на початку XX століття у роботах Вальтера Кауфмана (1902 рік)[31] і Альфреда Бухерера (1908 рік)[32].
У 1904–1905 роках Фрідріх Газенорль у своїй роботі приходить до висновку, що наявність у порожнині випромінювання виявляється у тому числі і так, ніби маса порожнини збільшилася[33].
У 1905 році з'являється відразу цілий ряд основоположних робіт Альберта Ейнштейна, у тому числі і робота, присвячена аналізу залежності інертних властивостей тіла від його енергії[34]. Зокрема, при розгляді випускання масивним тілом двох «кількостей світла» у цій роботі вперше вводиться поняття енергії спокою тіла і робиться наступний висновок[35]:
|
У 1906 році Ейнштейн вперше говорить про те, що закон збереження маси є всього лише окремим випадком закону збереження енергії[36].
У більш повній мірі принцип еквівалентності маси і енергії був сформульований Ейнштейном у роботі 1907[37], у якій він пише
|
Під спрощеним припущенням тут мається на увазі вибір довільної постійної у виразі для енергії. У більш докладній статті, що вийшла в тому ж році[1], Ейнштейн зауважує, що енергія є також і мірою гравітаційної взаємодії тіл.
У 1911 році виходить робота Ейнштейна, присвячена гравітаційному впливу масивних тіл на світло[38]. У цій роботі їм приписується фотону інертна і гравітаційна маса, що дорівнює і для величини відхилення променя світла у полі тяжіння Сонця виводиться значення 0,83 дугової секунди, що у два рази менше правильного значення, отриманого ним же пізніше на основі розвинутої загальної теорії відносності[39]. Цікаво, що те ж саме половинне значення було отримано Зольднером ще у 1804 році, але його робота залишилася непоміченою[40].
Експериментально еквівалентність маси і енергії було вперше продемонстровано у 1933 році. У Парижі Ірен та Фредерік Жоліо-Кюрі зробили фотографію процесу перетворення кванта світла, що несе енергію, у дві частинки, які мають ненульову масу. Приблизно у той же час у Кембриджі Джон Кокрофт та Ернест Томас Синтон Волтон спостерігали виділення енергії при діленні атома на дві частини, сумарна маса яких виявилася меншою, ніж маса вихідного атома[41].
Вплив на культуру
З моменту відкриття формула стала однією з найвідоміших фізичних формул і є символом теорії відносності. Незважаючи на те, що історично формула була вперше запропонована не Альбертом Ейнштейном, зараз вона асоціюється виключно з його ім'ям, наприклад, саме ця формула була використана як назва телевізійної біографії відомого вченого, що вийшла у 2005 році[42]. Популярності формули сприяло широке використання популяризаторами науки контрінтуїтивний висновок, що маса тіла збільшується зі збільшенням його швидкості. Крім того, з цією ж формулою асоціюється потужність атомної енергії[5]. Так, у 1946 році журнал «Time» на обкладинці зобразив Ейнштейна на тлі гриба ядерного вибуху з формулою на ньому[43][44].
- Бюст Ейнштейна в австралійському Центрі науки і техніки Квестакон
- «Теорія відносності», одна з шести скульптур в ансамблі Walk of Ideas у Берліні
Примітки
- Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Bd. 4. — С. 411—462.
Einstein A. Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Bd. 5. — С. 98—99.
русский перевод: Эйнштейн А. О принципе относительности и его следствиях // Теория относительности. Избранные работы. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — ISBN 5-93972-002-1. - Паулі В. §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гінзбург и В. П. Фролов. — 3-е изд. — М. : Наука, 1991. — С. 166—169. — (Библиотека теоретической физики) — 17700 прим. — ISBN 5-02-014346-4.
- Угаров В. А. Специальная теория относительности. — Москва : Наука, 1977.
- Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // УФН. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
- Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: E0=mc2. «Не смеётся ли Господь Бог»? // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 47—48.
- У нерелятивістській механіці, строго кажучи, енергія визначається з точністю до довільного доданка, проте, ніякого конкретного фізичного сенсу цей доданок не має, тому вибирається зазвичай так, щоб енергія спокою тіла була рівною нулю
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 46.
- Бергман П. Г. Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М. : Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 49.
- Barut A. O. Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York : Dover Publications, 1980. — С. 58. — ISBN 0-486-64038-8.
- Угаров В. А. Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва : Наука, 1977.
- Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сендс. Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — ISBN 978-5-397-00892-1.
- див. наприклад Сивухин Д.В. Оптика. — 1980. — С. 671—673.
- Сивухин Д. В. Загальний курс фізики = Общий курс физики. — М. : Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
- В. А. Фок. Масса и энергия // УФН. — 1952. — Т. 48, вип. 2. — С. 161—165.
- В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко. Еще раз о принципе эквивалентности // УФН. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 1988. — С. 349—361.
- И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь. О массе фотона // УФН. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
- USS Baindridge (DLGN/CGN 25). NavSource Online: Cruiser Photo Archive. NavSource Naval History. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 27 вересня 2010.
- Чернин А. Д. Формула Эйнштейна // Трибуна УФН.
- Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М. : Наука, 1989. — С. 143—145. — 36500 прим. — ISBN 5-02-014028-7.
- Thomson J. J. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies // Philosophical Magazine. — 1881. — Vol. 11. — С. 229—249.
- Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric // Philosophical Magazine. — 1889. — Vol. 27. — С. 324—339.
- Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М. : Наука, 1985. — 254 с.
- Кларк А. XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М. : Связь, 1964. — 236 с. — 20000 прим.
- Poincaré H. La théorie de Lorentz et le principe de réaction // Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. — 1900. — Т. 5. — С. 252—278.
- Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons // Phys. Z.. — 1902. — Bd. 4. — С. 57—63.
Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons // Ann. Phys.. — 1903. — Bd. 315. — С. 105—179. - Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1904. — Vol. 6. — С. 809—831.
- Кудрявцев, 1971, с. 39.
- Kaufmann W. Die elektromagnetische Masse des Elektrons // Phys. Z.. — 1902. — Bd. 4. — С. 54—57.
- Bucherer A. H. On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham // Philos. Mag.. — 1908. — Vol. 15. — С. 316—318.
Bucherer A. H. Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie // Phys. Z.. — 1908. — Bd. 9. — С. 755—762. - Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern // Ann. Phys.. — 1904. — Bd. 15 [320]. — С. 344—370.
Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung // Ann. Phys.. — 1905. — Bd. 16 [321]. — С. 589—592. - Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? // Ann. Phys.. — 1905. — Bd. 18 [323]. — С. 639—641.
- Кудрявцев, 1971, с. 51.
- Einstein A. Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie // Ann. Phys.. — 1906. — Bd. 20. — С. 627–633.
- Einstein A. Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie // Ann. Phys.. — 1907. — Bd. 23 [328]. — С. 371—384.
- Einstein A. Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes // Ann. Phys.. — 1911. — Bd. 35 [340]. — С. 898—908.
- Einstein A. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. — 1915. — Bd. 47, № 2. — С. 831—839.
- von Soldner J. Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht // Astronomisches Jahrbuch für das Jahr. — 1804. — С. 161—172.
- E=mc² (англійською). The Center for History of Physics. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 22 січня 2011.
- E=mc² на сайті IMDb (англ.)
- Friedman A. J., Donley C. C. {{{Заголовок}}}. — ISBN 9780521267205.
- Albert Einstein (російською). Time magazine. 1 июля 1946. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 30 січня 2011.
Посилання
- Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англійською). Американський інститут фізики. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 19 серпня 2010.
- The Antimatter Calculator (англійською). Edward Muller's Homepage. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 31 січня 2011.
- Сторінка рукопису Ейнштейна 1912 року із рівнянням E=mc² (англійською). Symmetry Magazine. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 31 січня 2011.
Джерела
- The Equivalence of Mass and Energy — Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Living Reviews in Relativity — An open access, peer-referred, solely online physics journal publishing invited reviews covering all areas of relativity research.
- A shortcut to E=mc2 — An easy to understand, high-school level derivation of the E=mc2 formula.
- Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М. : Прогресс, 1967. — 255 с.
- Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.
- Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М. : Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 23000 прим.