Обертова симетрія

Обертальна симетрія порядку n, також звана n- кратною симетрією обертання або дискретною симетрією обертання n- го порядку щодо певної точки (у 2D) або осі (у 3D) означає, що обертання на кут 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51  ° і т. д.) не змінює об'єкт. «1-кратна» симетрія — це відсутність симетрії (всі об'єкти виглядають однаково після обертання на 360 °).

Позначення n- кратної симетрії дорівнює C _n або просто " n ". Фактична група симетрії визначається точкою або віссю симетрії разом з n . Для кожної точки або осі симетрії абстрактним типом групи є циклічна група порядку n, Z _n . Хоча для останнього також використовується позначення C _n, слід розрізняти геометричний та абстрактний C _n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи циклічної симетрії у 3D .

Основним доменом є сектор 360 ° / п.

Приклади без додаткової симетрії відображення :

• n = 2, 180 °: діада ; літери Z, N, S; контури, хоча і не кольори, символу інь та ян ; прапор Союзу (поділений вздовж діагоналі прапора та обертається навколо центральної точки прапора)
• n = 3, 120 °: тріада, трискеліон, боромеївські кільця ; іноді використовується термін тристороння симетрія ;
• n = 4, 90 °: тетрада, свастика
• n = 6, 60 °: шестигранник, зірка Давида
• n = 8, 45 °: октада, восьмикутні мукарни, комп'ютерні (CG), стеля

C _n — група обертання правильного n- бічного багатокутника в 2D та регулярної n- сторонній піраміди в 3D.

Якщо існує, наприклад, обертальна симетрія відносно кута 100 °, то також щодо одного з 20 °, найбільшого спільного дільника 100 ° та 360 °.

Типовий тривимірний об'єкт із симетрією обертання (можливо, також з перпендикулярними осями), але без дзеркальної симетрії, є гвинтом .

Для дискретної симетрії з кількома осями симетрії через одну точку існують такі можливості:

• На додаток до n -кратної осі, n перпендикулярних 2-кратних осей: двогранні групи D _n порядку 2 n (n ≥ 2). Це група обертання регулярної призми або регулярної біпіраміди . Незважаючи на те, що використовуються однакові позначення, слід розрізняти геометричну та абстрактну D _n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи двогранних симетрій у 3D .
• 4 × 3-кратні та 3 × 2-кратні осі: група обертання Т порядку 12 правильного тетраедра . Група ізоморфна змінній групі A ₄ .
• 3 × 4-кратні, 4 × 3-кратні та 6 × 2-кратні осі: група обертання О порядку 24 куба і правильного октаедра . Група ізоморфна симетричній групі S ₄ .
• 6 × 5-кратна, 10 × 3-кратна та 15 × 2-кратна осі: група обертання Я порядку 60 додекаедра та ікосаедра . Група ізоморфна змінній групі A ₅ . Група містить 10 версій D ₃ та 6 версій D ₅ (ротаційні симетрії, такі як призми та антипризми).

У випадку з платонівськими твердими тілами 2-кратні осі проходять через середини протилежних ребер, і їх кількість становить половину числа ребер. Інші осі проходять через протилежні вершини та через центри протилежних граней, за винятком випадку тетраедра, де 3-кратні осі проходять через одну вершину та центр однієї грані.

Обертальна симетрія відносно будь-якого кута є, у двох вимірах, круговою симетрією . Фундаментальним доменом є напівлінія .

У трьох вимірах ми можемо розрізнити циліндричну симетрію та сферичну симетрію (без змін при обертанні навколо однієї осі або при будь-якому обертанні). Тобто, відсутність залежності від кута за допомогою циліндричних координат і відсутність залежності від будь-якого кута за допомогою сферичних координат . Основною областю є напівплощина через вісь і радіальна напівлінія відповідно. Осісиметрична - це прикметники, що відносяться до об'єкта, що має циліндричну симетрію, або осесиметрію (тобто обертальну симетрію відносно центральної осі), як пончик (тор). Прикладом приблизної сферичної симетрії є Земля (щодо щільності та інших фізико-хімічних властивостей).

4D безперервна або дискретна обертальна симетрія відносно площини відповідає 2D обертальній симетрії в кожній перпендикулярній площині, відносно точки перетину. Об'єкт може також мати обертальну симетрію навколо двох перпендикулярних площин, наприклад, якщо це декартовий добуток двох обертально-симетричних 2D фігур, як, наприклад, у випадку дуоциліндра та різних регулярних дуопризьм .

</img> </br> Розташування в примітивній клітині 2-х та 4-кратних ротоцентрів. Основний домен позначений жовтим кольором.

</img> </br> Розміщення в примітивній комірці з 2-, 3- та 6-кратних ротоцентрів, окремо або в комбінації (розгляньте 6-кратний символ як комбінацію 2- та 3-кратного символу); лише у випадку 2-кратної симетрії форма паралелограма може бути різною. Для випадку p6 основний домен позначений жовтим кольором.

Двократна обертальна симетрія разом з одиночною поступальною симетрією є однією з груп Фріза . На одну примітивну клітину припадає два ротоцентри.

Разом із подвійною поступальною симетрією групами обертання є наступні групи шпалер з осями на примітивну комірку:

• p2 (2222): 4 × 2-кратний; група обертання паралелограммової, прямокутної та ромбічної решітки .
• p3 (333): 3 × 3-кратний; не група обертання будь-якої решітки (кожна решітка перевернута однаково, але це не стосується цієї симетрії); це, наприклад, група обертання правильної трикутної плитки з рівносторонніми трикутниками, що чергуються.
• p4 (442): 2 × 4-кратний, 2 × 2-кратний; група обертання квадратної решітки.
• p6 (632): 1 × 6-кратний, 2 × 3-кратний, 3 × 2-кратний; група обертання шестикутної решітки.
• 2-кратні ротоцентри (включаючи можливі 4-кратні та 6-кратні), якщо вони взагалі присутні, утворюють транслят решітки, рівний поступальній решітці, масштабований у 1/2 рази. У разі поступальної симетрії в одному вимірі застосовується подібна властивість, хоча термін «решітка» не застосовується.
• 3-кратні ротоцентри (включаючи можливі 6-кратні), якщо вони взагалі є, утворюють правильну гексагональну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 30 ° (або еквівалентно 90 °) і масштабовану в коефіцієнт ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$
• 4-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі присутні, утворюють правильну квадратну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 45 ° і масштабовану в коефіцієнт ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$
• 6-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі є, утворюють правильну шестикутну решітку, яка є транслятором поступальної решітки.

Масштабування решітки це — поділ кількості точок на одиницю площі і на квадрат масштабного коефіцієнта. Отже, кількість 2-, 3-, 4- та 6-кратних ротоцентрів на примітивну клітину становить відповідно 4, 3, 2 та 1, знову ж включаючи 4-кратний як особливий випадок 2-кратного тощо.

3-кратна симетрія обертання в одній точці та 2-кратна в іншій (або, наприклад, у 3D відносно паралельних осей) передбачає групу обертання p6, тобто подвійну поступальну симетрію та 6-кратну обертальну симетрію в якійсь точці (або, в 3D, паралельна вісь). Довжина перекладу для симетрії, відтвореною однією такою парою ротоцентрів, становить ${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ помножена на відстань між ними.

Евклідова площина	Гіперболічна площина
</img> </br> Трикутна черепиця Hexakis, приклад p6, [6,3] +, (632) (з кольорами) та p6m, [6,3], (* 632) (без кольорів); лінії є осями відбиття, якщо кольори ігноруються, та особливим видом осі симетрії, якщо кольори не ігноруються: відбиття повертає кольори. Можна виділити прямокутні лінійні сітки в трьох орієнтаціях.	</img> </br> Замовлення 3-7 kisrhombille, приклад [7,3] + (732) симетрії та [7,3], (* 732) (без кольорів)