Симетрія в математиці

ƒ(x) = x² є парною функцією.

Нехай f(x) функція дійсної змінної. Тоді f буде парною, якщо для будь-якого x та -x з області визначення f виконується:

${\displaystyle f(-x)=f(x).\,}$

З геометричної точки зору, графік парної функції симетричний щодо осі ординат, а це означає, що її графік залишається незмінним після симетричного відображення відносно осі у. Приклади парних функцій: |x|, x², x⁴, cos(x) та cosh(x).

ƒ(x) = x³ є непарною функцією.

Нехай f(x) функція дійсної змінної. Тоді f буде непарною, якщо для будь-якого x та -x з області визначення f виконується:

${\displaystyle f(-x)=-f(x).\,}$

Геометрично графік непарної функції має осьову симетрію щодо початку координат, це означає, що її графік залишається незмінним після оберту на 180 градусів навколо центру координат. Прикладами непарних функцій є x, x³, sin(x), sinh(x) та erf(x).

Інтеграл від непарної функції від -А до +А дорівнює нулю (де А — число, а функція не має вертикальних асимптот між -А і А).

${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0,\qquad \left(\forall x\in (-A;A)\colon f(-x)=-f(x)\right).}$

Інтеграл парної функції від -А до + A дорівнює подвоєному інтегралу від 0 до +A (де А — число, а функція не має вертикальних асимптот між -А і А. Це також вірно, коли A — нескінченність, але тільки, якщо інтеграл сходиться).

${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx,\qquad \left(\forall x\in (-A;A)\colon f(-x)=f(x)\right).}$

Симетричним многочленом називається многочлен P(X₁, X₂, …, X_n) від n змінних, такий, що при будь-якій перестановці виходить той же самий многочлен. Тобто, P буде симетричним многочленом, якщо для будь-якої перестановки σ індексів 1, 2, …, n виконується: P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

Симетричні многочлени природним чином виникають при вивченні зв'язків між коренями многочлена від однієї змінної та його коефіцієнтів, оскільки коефіцієнти можуть бути задані поліноміальними виразами від коренів, і всі корені симетрично входять в цей вираз. З цієї точки зору елементарні симетричні многочлени є базовими симетричними многочленами. Фундаментальна теорема про симетричні многочлени стверджує, що будь-який симетричний поліном може бути виражений через елементарні симетричні многочлени, що означає, що кожний симетричний поліноміальний вираз в коренях многочлена може бути також заданий як поліноміальний вираз в коефіцієнтах многочлена.