Евклідове кільце

Визначення

Евклідове кільцеобласть цілісності , для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) , причому , і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких є представлення , для якого .

Примітка

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: для будь-яких та ненульових з кільця . Якщо на задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай такий, що . Розділимо з остачею ax на bx: , де і . Тому що з визначення , ми отримали представлення з , що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади

  • Кільце цілих чисел . Приклад евклідової функції — абсолютна величина .
  • Кільце цілих гаусових чисел (де i — уявна одиниця, ) з нормою — евклідове.
  • Довільне поле є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює для всіх елементів, окрім .
  • Кільце многочленів від однієї змінної над полем . Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, .
  • Кільце формальних степеневих рядів над полем є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
  • Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — , необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
  • Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
  • Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
  • Кільце часток евклідового кільця по мультиплікативній системі також є евклідовим. Нормою дробу з приймається
, де — евклідова норма в , а — норма в .
Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби і з . За визначенням норми в існують елементи в і в S, такі що і . Вчинимо ділення з остачею в кільці елементів і :
rs = uq + r', так що . Тоді . З побудови випливають нерівності .
  • Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел .
  • Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів .


Алгоритм Евкліда

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи і , при чому і . Ділення з остачею дає елемент с . Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент , і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень з . Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому остача дорівнює нулю, а не дорівнює, вона і є НСД елементів і . Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець

  • В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
    • Нехай — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо — довільний елемент ідеалу , запишемо його у вигляді з . Тоді — також елемент ідеалу і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у . Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі . З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент , містить ідеал . Отже, — головний ідеал.
  • Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
  • Кожне евклідове кільце цілозамкнене, тобто якщо дріб , є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює , тоді ділиться на . Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Нехай — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені -модулі характеризуються такими властивостями:

  • Кожен підмодуль скінченнопородженого -модуля скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця )
  • Ранг підмодуля не перевищує рангу модуля . (наслідок того, що ідеали в головні)
  • Підмодуль вільного -модуля вільний.
  • Гомоморфізм скінченнопороджених -модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) модуля , твірні (базис) модуля , номер і — елементи кільця , такі що ділить та при , а при інших — . При цьому коефіцієнти визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця . (Тут прямо задіяна евклідовість кільця .)

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.