Теорема Безу (алгебрична геометрія)

Нехай X і Y — дві плоскі алгебричні криві, задані над полем F, які не мають спільної компоненти (ця умова означає, що X і Y визначено многочленами, найбільший спільний дільник яких є константою; зокрема, це вірно для двох «загальних» кривих). Тоді загальна кількість точок перетину X і Y з координатами в алгебраїчно замкнутому полі E, що містить F, порахована з урахуванням кратності, дорівнює добутку степенів X і Y.

Узагальнення на більш високі розмірності може бути сформульовано таким чином:

Нехай дано n проективних гіперповерхонь в проективному просторі розмірності n над алгебрично замкнутим полем, задані n однорідними многочленами від n + 1 змінної, степенів ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}.}$ Тоді або кількість точок перетину є нескінченною, або ця кількість, порахована з урахуванням кратності, дорівнює добутку ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$ Якщо гіперповерхні приводиться і знаходяться в загальному положенні, то є ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$ точок перетину, всі з кратністю 1.

Найбільш тонкою частиною теореми Безу і її узагальнень на випадок k алгебричних гіперповерхонь в k-вимірному проективному просторі є процедура зіставлення точкам перетину правильних кратностей. Якщо P — спільна точка двох плоских алгебричних кривих X і Y, яка є неособливою точкою обох з них, причому дотичні X і Y в точці P різні, то індекс перетину є рівним 1. Це відповідає випадку «трансверсального перетину». Якщо криві X і Y мають спільну дотичну в точці P, то кратність дорівнює як мінімум 2.

Існують різні варіанти означення кратності перетину плоских кривих. Наприклад якщо ${\displaystyle F,G}$ є двома кривими у ${\displaystyle k[X,Y]}$, що не мають спільної компоненти і ${\displaystyle P=(a,b)}$ — їх спільна точка, То можна розглянути локальне кільце ${\displaystyle O_{P}}$. Це кільце складається з раціональних функцій від двох змінних, знаменник яких не рівний нулю в точці P. Тоді фактор-кільце ${\displaystyle O_{P}/(F,G)}$ за ідеалом, породженим многочленами ${\displaystyle F,G}$ є ${\displaystyle k}$-векторним простором скінченної розмірності. Розмірність цього простору і називається індексом перетину кривих ${\displaystyle V(F),V(G)}$ у точці ${\displaystyle (a,b)}$.

Якщо позначити індекс перетину однорідних многочленів ${\displaystyle F,G}$ у точці ${\displaystyle P}$ як ${\displaystyle I(P,F\cap G)}$ то твердження теореми Безу для плоских кривих можна записати як:

${\displaystyle \sum _{P\in \mathbb {P} ^{2}(k)}I(P,F\cap G)=\deg F\cdot \deg G,}$

• Дві різні непаралельні прямі (що лежать в одній площині) завжди перетинаються рівно в одній точці. Дві паралельні прямі перетинаються в єдиній нескінченно віддаленій точці. Наприклад у проективному просторі прямі x + 2y = 3 і x + 2y = 5 задаються однорідними рівняннями x + 2y - 3z = 0 і x + 2y - 5z = 0. Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримуємо x = -2y і z = 0, що відповідає точці (-2: 1: 0) в однорідних координатах. Так як координата z дорівнює 0, ця точка лежить на нескінченно віддаленій прямій.
• Окремий випадок, коли одна з кривих є прямою, може бути виведений з основної теореми алгебри. У цьому випадку теорема стверджує, що алгебрична крива степеня n перетинає дану пряму в n точках з урахуванням кратності. Наприклад, парабола, задана рівнянням y - x² = 0, має степінь 2; пряма y - ax = 0 має степінь 1, і вони перетинаються рівно в двох точках, якщо a ≠ 0, і дотикаються в початку координат (перетинаються з кратністю два), якщо a = 0.
• Два конічні перетини перетинаються в загальному випадку в 4 точках, деякі з яких можуть збігатися. Щоб правильно порахувати всі точки перетину, потрібно ввести комплексні координати і врахувати точки, що лежать на нескінченно віддаленій прямій в проективній площині. Наприклад:

• Два кола ніколи не перетинаються більш ніж в двох точках на дійсній площині, тоді як згідно теореми Безу має бути чотири. Невідповідність виникає через те, що будь-яке коло проходить через дві фіксовані комплексні нескінченно віддалені точки. Записуючи рівняння кола

${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}}$

в однорідних координатах, отримуємо

${\displaystyle (x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,}$

звідки видно, що дві точки (1: i: 0) і (1: - i: 0 ) лежать на будь-якому колі. Коли два кола не перетинаються у дійсній площині, дві інші точки перетину мають ненульові уявні частини, або якщо два кола мають єдиний центр, то вони перетинаються в двох нескінченних точках з кратністю два.

• Будь-яка коніка, відповідно до теореми, повинна перетинати нескінченно віддалену пряму в двох точках. Гіпербола перетинає її в двох дійсних точках, що відповідають двом напрямкам асимптот. Еліпс перетинає її в двох комплексно спряжених комплексних точках — у випадку кола, в точках (1: i: 0) і (1: - i: 0). Парабола перетинає її тільки в одній точці яка є точкою дотику і тому рахується двічі.

• У прикладах нижче коло задане рівнянням x²+y²-1=0 і еліпси перетинаються у точках з кратністю перетину більшою 1:

x2+4y2-1=0 Дві спільні точки з кратністю перетину 2

5x2+6xy+5y2+6y-5=0 Точки з кратністю 1 і кратністю 3

4x2+y2+6x+2=0 Точка з кратністю перетину 4

Доведення теореми Безу загалом залежить від означення індексу перетину в точці і в загальному випадку може бути досить складним. Відносно просто можна довести, що кількість точок перетину є не більшою, ніж добуток їх степенів mn. Виберемо спершу точку S, що не належить жодній із кривих і довільну пряму L, таку, що ${\displaystyle S\not \in L}$. Через заміну проективних координат можна вважати, що S = (0: 0: 1) і L є прямою z = 0. Кожна пряма L', що проходить через точку S і довільну точку перетину кривих X і Y може містити лише скінченну кількість точок перетину цих кривих оскільки у них немає спільних компонент. Якщо (x: y: z) — координати згаданої вище точки перетину, то пряма L' перетинається з прямою z = 0 у точці (x: y: 0) (інакше кажучи (x: y: 0) є проекцією точки перетину з точки S на пряму z = 0).

Запишемо рівняння для X і Y в однорідних координатах (після можливого перетворення координат) як

${\displaystyle a_{0}z^{m}+a_{1}z^{m-1}+\dots +a_{m-1}z+a_{m}=0}$

${\displaystyle b_{0}z^{n}+b_{1}z^{n-1}+\dots +b_{n-1}z+b_{n}=0}$

де a_i і b_i — однорідний многочлен степеня i від x і y. Оскільки точка S = (0: 0: 1) не належить жодній кривій, то ${\displaystyle a_{0}\neq 0,\;b_{0}\neq 0.}$ Точка з координатами (x: y: 0) буде проекцією деякої точки перетину X і Y на пряму z = 0, тоді і тільки тоді коли ці рівняння (як многочлени від z при конкретних значеннях x, y мають спільний корінь). Сформуємо матрицю Сильвестра; наприклад у випадку m = 4, n = 3 вона буде рівною:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&0&0\\0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&0\\0&0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0&0\\0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0\\0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0\\0&0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}.}$

Визначник матриці S, який також називається результантом двох многочленів, дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли два рівняння мають спільний розв'язок. Визначник |S| є однорідним многочленом від x і y і одним з його одночленів є (a₀)ⁿ (b_n)^m, тому визначник має степінь mn. [1]

Два рівняння вище можуть мають спільний корінь для тих і тільки для тих x і y для яких результант є рівним нулю. За основною теоремою алгебри він може бути розкладений на mn лінійних множників деякі з них можуть бути однаковими. Відповідно може бути щонайбільше mn різних пар координат x і y для кожної з яких результант рівний 0. У кожному з цих випадків (x: y: 0) буде проекцією деякої точки перетину X і Y на пряму z = 0. Оскільки вона може бути проекцією лише скінченної кількості точок перетину то загальна кількість точок перетину теж є скінченною.

Щоб довести, що ця кількість не може бути більшою mn треба зауважити, що оскільки кількість точок перетину є скінченною, то скінченною є також кількість прямих, що їх сполучають. Тоді можна обрати таку точку S, що не належить не лише двом алгебричним кривим але і прямим, що сполучають їх точки перетину. Повторюючи попередні аргументи одержуємо щонайбільше mn проекцій кожна з яких є проекцією лише однієї точки перетину.

Цей процес також підказує введення індексу перетину при якому виконується теорема Безу. Нехай криві задаються тими ж рівняннями, що і вище і точка (0: 0: 1) не належить жодній із кривих X і Y, а також жодній із прямих, що сполучає їх точки перетину. Тоді для кожної точки перетину (x: y: z) точка (x: y) є коренем однорідного многочлена |S| визначеного як і вище. Навпаки для кожного кореня x: y існує єдина точка перетину кривих X і Y. Індексом перетином у цій точці можна взяти кратність (x: y) як кореня однорідного многочлена. При такому означенні твердження теореми Безу очевидно виконується.

Проблемою є те що означення кратності залежить від координат і доведення його інваріантності при заміні проективних координат у загальному випадку не є простим.

• Fulton, William (2008). 5.5 Max Noether's Fundamental Theorem and 5.6 Applications of Noether's Theorem. Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. с. 60–65.
• C.G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, 1998.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05059-9..
• Kirwan, Frances (1992). Complex Algebraic Curves. United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42353-8.
• Walker, Robert J. (1950). Algebraic Curves. Princeton Mathematical Series 13. Princeton University Press. MR 0033083.