Теорема Лумана — Меньшова

Нехай ${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$ і f — комплекснозначна функція на I для якої в кожній точці інтервалу існує похідна. Нехай E — замкнута підмножина в I і M > 0 — число для яких:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|,\quad x\in E,\ y\in I.}$

Тоді:

${\displaystyle \left|f(b)-f(a)-\int _{E}f'(x)dx\right|\leqslant Mm_{1}(I\setminus E),}$

де ${\displaystyle m_{1}}$ позначає міру Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Нехай ${\displaystyle J=[\alpha ,\beta ]\subset I}$ і введемо функцію ${\displaystyle f_{J}:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ як ${\displaystyle f_{J}(x)=\lambda x+\mu ,}$ де ${\displaystyle \lambda ={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}}$ і ${\displaystyle \mu ={\frac {\beta f(\alpha )-\alpha f(\beta )}{\beta -\alpha }}.}$ Для цієї функції виконується нерівність:

${\displaystyle |f_{J}(x)-f_{J}(y)|\leqslant {\frac {|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }}|x-y|,\quad \forall \ x,y\in \mathbb {R} .}$

Позначимо ${\displaystyle E_{0}=E\cup \{a\}\cup \{b\}}$ і введемо функцію g на I як:

• ${\displaystyle g|_{E_{0}}=f|_{E_{0}}}$
• Якщо J є замиканням компоненти зв'язності множини ${\displaystyle I\setminus E_{0}}$ то ${\displaystyle g|_{J}=f_{J}|_{J}}$

Зауважимо, що обидва кінці такого інтервалу J належать ${\displaystyle E_{0}}$ і хоча б один кінець належить ${\displaystyle E.}$ При таких умовах:

${\displaystyle |g(x)-g(y)|\leqslant M|x-y|,\quad \forall \ x,y\in I.}$

Для доведення цього можна припустити x < y і розглянути два випадки.

Випадок 1. x і y належать єдиному інтервалу ${\displaystyle J=[\alpha ,\beta ],}$ що доповнює ${\displaystyle I\setminus E_{0}.}$ У цьому випадку

${\displaystyle |g(x)-g(y)|\leqslant {\frac {|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }}|x-y|,}$

і хоча б одне з чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ належить E. Згідно припущення ${\displaystyle |f(\beta )-f(\alpha )|\leqslant |\beta -\alpha |,}$ що завершує доведення у цьому випадку.

Випадок 2. x і y не належать єдиному інтервалу ${\displaystyle J=[\alpha ,\beta ],}$ що доповнює ${\displaystyle I\setminus E_{0}.}$ Тоді існує число ${\displaystyle x<\xi <y,}$ таке що ${\displaystyle \xi \in E}$ (в іншому випадку x і y належали б єдиному інтервалу). Якщо ${\displaystyle x\in E_{0}}$ то з того, що ${\displaystyle \xi \in E}$ випливає:

${\displaystyle |g(x)-g(\xi )|=|f(x)-f(\xi )|\leqslant M|\xi -x|.}$

Якщо ${\displaystyle x\not \in E_{0}}$ то нехай J буде інтервалом, що доповнює ${\displaystyle E_{0},}$ що містить x і x' позначає крайню праву точку цього інтервалу. Тоді:

${\displaystyle |g(x)-g(\xi )|=|g(x)-g(x')|+|g(x')-g(\xi )|.}$

Як і вище ${\displaystyle |g(x')-g(\xi )|\leqslant M(\xi -x')}$ і, згідно випадку 1 також ${\displaystyle |g(x)-g(x')|\leqslant M(x'-x).}$ Додавши ці дві нерівності отримуємо:

${\displaystyle |g(x)-g(\xi )|\leqslant M(\xi -x).}$

Аналогічно ${\displaystyle |g(\xi )-g(y)|\leqslant M(y-\xi )}$ і додавши ці дві нерівності остаточно отримуємо необхідний результат.

Звідси випливає, що g є абсолютно неперервною і згідно теореми Лебега:

${\displaystyle g(b)-g(a)=\int _{E}g'(x)dx+\int _{I\setminus E}g'(x)dx.}$

Далі ${\displaystyle g(a)=f(a),\ g(b)=f(b)}$ і ${\displaystyle g'=f'}$ у всіх неізольованих точках множини E. Таких ізольованих точок може бути не більш, ніж зліченна кількість і тому ${\displaystyle g'=f'}$ майже всюди на E. Також ${\displaystyle g'\leqslant M}$ майже всюди на I. Із врахуванням всього отримуємо:

${\displaystyle \left|f(b)-f(a)-\int _{E}f'(x)dx\right|=\left|\int _{I\setminus E}g'(x)dx\right|\leqslant Mm_{1}(I\setminus E).}$

Нехай ${\displaystyle D}$ — відкрита множина на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}}$ і нехай ${\displaystyle f}$ буде неперервною функцією з ${\displaystyle D}$ у ${\displaystyle \mathbb {C} }$ для якої на ${\displaystyle D}$ існують часткові похідні. Позначимо ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$ прямокутник у ${\displaystyle D.}$ Виберемо A > 0 так щоб ${\displaystyle A^{-1}\leqslant (d-c)/(b-a)\leqslant A.}$ Припустимо, що існує непуста замкнута множина ${\displaystyle E}$ у ${\displaystyle D}$ і додатне число ${\displaystyle M}$, такі що:

${\displaystyle \forall (x,y)\in E,(w,y)\in D,(x,v)\in D:\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant M\left|y-v\right|,\left|f(x,y)-f(w,y)\right|\leqslant M\left|x-w\right|}$

Нехай ${\displaystyle R_{0}\subset R}$ є перетином усіх прямокутників, що містять ${\displaystyle E\cap R.}$ Якщо ${\displaystyle E\cap R\neq \emptyset ,}$ то ${\displaystyle R_{0}}$ є замкнутим прямокутником, можливо виродженим (тобто вертикальним чи горизонтальним відрізком або точкою). Тоді:

${\displaystyle \left|\int _{\partial R_{0}}fdz-2i\int \int _{R\cap E}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}dxdy\right|\leqslant 8AMm_{2}(R\setminus R\cap E)}$

де ${\displaystyle m_{2}}$ позначає міру Лебега.

Нехай ${\displaystyle R_{0}=[a_{0},b_{0}]\times [c_{0},d_{0}]=I\times J.}$ Для ${\displaystyle x\in I,}$ позначимо ${\displaystyle E_{x}=\{y\in J|(x,y)\in E\}.}$

Згідно гіпотези:

${\displaystyle \left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant M\left|y-v\right|,\quad \forall y\in E_{x},v\in J.}$

Тому якщо ${\displaystyle E_{x}\neq \emptyset }$ то, згідно попередньої леми:

${\displaystyle \left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})-\int _{E_{x}}{\partial f \over \partial y}dy\right|\leqslant Mm_{1}(J\setminus E_{x})\leqslant 4AMm_{1}(J\setminus E_{x}).}$

Натомість, якщо ${\displaystyle E_{x}\neq \emptyset }$ то можна знайти ${\displaystyle \xi ,\xi '\in I}$ для яких ${\displaystyle (\xi ,c_{0})\in E\cap R,(\xi ',d_{0})\in E\cap R.}$ Тоді:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right|&\leqslant \left|f(x,d_{0})-f(\xi ',d_{0})\right|+\left|f(\xi ',d_{0})-f(\xi ',c_{0})\right|+\left|f(\xi ',c_{0})-f(\xi ,c_{0})\right|+\left|f(\xi ',c_{0})-f(\xi ,d_{0})\right|\leqslant \\&\leqslant M\left(|x-\xi '|+|d_{0}-c_{0}|+|\xi '-\xi |+|\xi -x|\right).\end{aligned}}}$

Також ${\displaystyle |d_{0}-c_{0}|\leqslant (d-c)}$ і ${\displaystyle |x-\xi '|+|\xi '-\xi |+|\xi -x|\leqslant 3(b_{0}-a_{0})\leqslant 3(b-a)\leqslant 3A(d-c).}$ Остаточно у цьому випадку

${\displaystyle \left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right|\leqslant 4AM(d-c).}$

Таким чином можна записати в обох випадках:

${\displaystyle \left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})-\int _{E_{x}}{\partial f \over \partial y}dy\right|\leqslant 4AM(d-c-m_{1}(E_{x})).}$

Інтегруючи цей вираз по x отримуємо:

${\displaystyle \left|\int _{a_{0}}^{b_{0}}\left(f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right)dx-\int \int _{E\cap R}{\partial f \over \partial y}dxdy\right|\leqslant 4AM\left((d-c)(b_{0}-a_{0})-m_{2}(E\cap R_{0})\right)\leqslant 4AMm_{2}(R\setminus E\cap R),}$

оскільки ${\displaystyle E\cap R=E\cap R_{0}.}$

Аналогічно можна отримати другу нерівність

${\displaystyle \left|\int _{c_{0}}^{c_{0}}\left(f(b_{0},y)-f(a_{0},y)\right)dy-\int \int _{E\cap R}{\partial f \over \partial x}dxdy\right|\leqslant 4AMm_{2}(R\setminus E\cap R).}$

Для остаточного доведення потрібно другу нерівність домножити на ${\displaystyle i}$ додати до першої і використати рівності ${\displaystyle 2i{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=i{\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}}$ і

${\displaystyle \int _{\partial R_{0}}fdz=i\int _{c_{0}}^{c_{0}}\left(f(b_{0},y)-f(a_{0},y)\right)dy+\int _{a_{0}}^{b_{0}}\left(f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right)dx.}$

Нехай ${\displaystyle E'}$ — множина точок ${\displaystyle z\in D}$ для яких існує окіл в якому функція ${\displaystyle f}$ є голоморфною. Позначимо ${\displaystyle E=D\setminus E'.}$ Ця множина буде найменшою замкнутою підмножиною ${\displaystyle D}$ для якої ${\displaystyle f|_{D\setminus E}}$ є голоморфною функцією. Згідно твердження теореми ${\displaystyle E=\emptyset .}$

Припустимо, що це не так. Тоді при доведенні можна знайти відкриту підмножину ${\displaystyle K\subset D}$ і константу M > 0, для яких ${\displaystyle K\cap E\neq \emptyset }$ і також для ${\displaystyle z=x+iy\in E\cap K}$ і ${\displaystyle z_{1}=x'+iy,\ z_{2}=x+iy'\in K}$ виконуються нерівності ${\displaystyle |f(z_{1})-f(z)|\leqslant M|x'-x|}$ і ${\displaystyle |f(z_{2})-f(z)|\leqslant M|y'-y|}$. При цьому f є голоморфною на K, що суперечить вибору E і умові ${\displaystyle K\cap E\neq \emptyset .}$ Це протиріччя і завершить доведення теореми.

Для знаходження множини K введемо спершу ${\displaystyle D_{n}}$ як підмножини ${\displaystyle D}$ з такими властивостями:

${\displaystyle D_{n}=\{z|z\in D,\left|f(z+h)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\left|f(z+ih)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\ \forall h\in \mathbb {R} ,\ B(z,h)\subset D,\ \left|h\right|\leqslant 1/n\}}$

Із неперервності ${\displaystyle f}$ і властивості існування часткових похідних всюди випливає, що ${\displaystyle D_{n}}$ є замкнутою множиною і ${\displaystyle D=\cup _{n=1}^{\infty }D_{n},}$ а тому ${\displaystyle E=\cup _{n=1}^{\infty }E\cap D_{n}}$. Звідси, згідно теореми Бера, існує хоча б одне ${\displaystyle D_{n}}$ і відкрита підмножина ${\displaystyle K}$ у ${\displaystyle D}$, для яких ${\displaystyle \emptyset \neq E\cap K\subseteq E\cap D_{n}}$.

${\displaystyle K}$ можна вважати відносно компактною підмножиною ${\displaystyle D,}$ тоді, зокрема, існує число c > 0 для якого ${\displaystyle |f|<c/2}$ на ${\displaystyle K.}$ Тоді, якщо ${\displaystyle z=x+iy\in E\cap K\subseteq E\cap D_{n}}$ і ${\displaystyle z_{1}=x'+iy,\ z_{2}=x+iy'\in K}$ то виконуються нерівності

${\displaystyle |f(z_{1})-f(z)|\leqslant \left\{{\begin{aligned}n|x'-x|,&&|x'-x|\leqslant {1 \over n}\\cn|x'-x|,&&|x'-x|>{1 \over n}\end{aligned}}\right.}$

і подібні для ${\displaystyle |f(z_{1})-f(z)|.}$ Це доводить твердження для ${\displaystyle M=\max(n,\ cn).}$

Для доведення голоморфності f на K, згідно теореми Морери достатньо довести, що для кожного прямокутника ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]\subset K}$ виконується рівність ${\displaystyle \int _{\partial R}fdz=0.}$

Виберемо A > 0 так щоб ${\displaystyle A^{-1}\leqslant (d-c)/(b-a)\leqslant A.}$ Нехай ${\displaystyle \varepsilon >0}$ є довільним і відкрита множина ${\displaystyle U\supset K}$ така, що ${\displaystyle m_{2}(U\setminus K)<\varepsilon }$ (така ${\displaystyle U}$ існує оскільки ${\displaystyle E}$ як закрита підмножина відкритої множини є вимірною і тому її зовнішня міра є рівною мірі).

Нехай ${\displaystyle N\geqslant 1.}$ Прямокутник ${\displaystyle R}$ можна поділити на ${\displaystyle 4^{N}}$ прямокутники ${\displaystyle R_{\nu },\ \nu =1,\ldots ,4^{N}}$ повторюючи N раз процедуру поділу отриманих прямокутників на 4 за допомогою відрізків, що поєднують середини протилежних сторін. Якщо ${\displaystyle R_{\nu }=[\alpha ,\beta ]\times [\gamma ,\delta ]}$ то ${\displaystyle (\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )=(d-c)/(b-a)}$ і тому також ${\displaystyle A^{-1}\leqslant (\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )\leqslant A.}$

Для достатньо великого ${\displaystyle N,}$ якщо ${\displaystyle R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }$ то ${\displaystyle R_{\nu }\subset U.}$ Тоді:

${\displaystyle \int _{\partial R}fdz=\sum _{\nu }\int _{\partial R_{\nu }}fdz=\sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }\int _{\partial R_{\nu }}fdz}$

оскільки для ${\displaystyle R_{\nu }\subset K\setminus E}$ згідно теореми Коші — Гурса ${\displaystyle \int _{\partial R_{\nu }}fdz=0.}$

Нехай ${\displaystyle R_{\nu }^{(0)}}$ позначає перетин всіх замкнутих прямокутників, що містять ${\displaystyle R_{\nu }\cap E.}$ Тоді ${\displaystyle R_{\nu }^{(0)}}$ є замкнутим прямокутником (можливо виродженим) і ${\displaystyle \int _{\partial R_{\nu }}fdz=\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz.}$

Застосовуючи лему 2 до тих значень ${\displaystyle \nu }$ для яких ${\displaystyle R_{\nu }\cup E\neq \emptyset }$ отримуємо:

${\displaystyle \left|\int _{\partial R_{\nu }}fdz\right|=\left|\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz\right|=\left|\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz-2i\int \int _{R_{\nu }\cup E}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}dxdy\right|\leqslant 8AMm_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).}$

Звідси:

${\displaystyle \left|\int _{\partial R}fdz\right|\leqslant \sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }\left|\int _{\partial R_{\nu }}fdz\right|\leqslant 8AM\sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }m_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).}$

Оскільки для достатньо великого ${\displaystyle N,}$ якщо ${\displaystyle R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }$ то ${\displaystyle R_{\nu }\subset U}$ і два різних прямокутники ${\displaystyle R_{\nu },R_{\nu '}}$ мають перетин двовимірна міра Лебега для якого є рівною нулю, то

${\displaystyle \sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }m_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E)\leqslant m_{2}(U\setminus U\cap E)<\varepsilon .}$

Тому ${\displaystyle \left|\int _{\partial R}fdz\right|<8AM\varepsilon }$ і з довільності вибору ${\displaystyle \varepsilon }$ випливає, що ${\displaystyle \int _{\partial R}fdz=0.}$ Тому функція f є голоморфною на K, що суперечить ${\displaystyle K\cap E\neq \emptyset .}$