Теорема Машке

Нехай V — K[G]-підмодуль. Доведемо, що V є прямим доданком. Нехай ${\displaystyle \pi }$ — довільна K-лінійна проекція K[G] на V. Розглянемо відображення ${\displaystyle \varphi :K[G]\to V}$ задане як (зауважимо, що для можливості задання цього відображення критичним є те, що ${\displaystyle \#G}$ не є рівним нулю у полі K; це є наслідком умови на характеристику поля і порядок групи):

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x).}$

Тоді відображення ${\displaystyle \varphi }$ є очевидно K-лінійним і відображає K[G] на V. Також для довільних ${\displaystyle x\in V,\;s\in G}$ маємо ${\displaystyle \pi s^{-1}x=s^{-1}x}$. Звідси для ${\displaystyle x\in V}$ отримуємо ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}x=x}$, тобто відображення є тотожним на V. Крім того маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\{}&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\{}&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}}$

тому ${\displaystyle \varphi }$ є також K[G]-лінійним. Отож ${\displaystyle \varphi }$ є K[G]-лінійною проекцією і тому ${\displaystyle K[G]=V\oplus \ker \varphi }$. Тобто довільний підмодуль K[G] є прямим доданком, тож, K[G] є напівпростою алгеброю.

• Нехай ${\displaystyle G=S_{n}}$ — симетричній групі перестановок n елементів. Для цієї групи існує природне представлення у n-вимірному векторному просторі над довільним полем. Це відображення задане так: якщо ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ — базис такого простору, то лінійний оператор для перестановки ${\displaystyle \sigma }$ діє як ${\displaystyle \sigma (e_{i})=e_{\sigma (i)}}$.

Очевидно, що одновимірний простір породжений вектором ${\displaystyle e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{n}}$ буде інваріантним щодо вказаного представлення. Його доповненням буде простір породжений векторами ${\displaystyle e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n}}$.

• Доведена теорема є у загальному випадку невірною для нескінченних груп. Прикладом може бути нескінченна циклічна група — адитивна група цілих чисел. Відображення ${\displaystyle \phi }$, яке числу k ставить у відповідність матрицю ${\displaystyle \Phi (k)={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}}$ , є двовимірним представленням цієї групи, оскільки ${\displaystyle \Phi (k)\Phi (m)=\Phi (k+m)}$. Одновимірний підпростір породжений вектором ${\displaystyle \{e_{2}\}}$ є інваріантним відносно всіх операторів ${\displaystyle \Phi (k)}$, але для нього не знайдеться інваріантного доповнюючого підпростору, оскільки двовимірний простір V представлення ${\displaystyle \phi }$ не має ніяких інших підпросторів, інваріантних відносно ${\displaystyle \phi }$. Справді, власні значення усіх матриць ${\displaystyle \Phi (k)}$ рівні 1 і всі власні вектори є колінеарними ${\displaystyle e_{2}}$. Натомість для теореми існують узагальнення для деяких типів нескінченних груп, наприклад для компактних топологічних груп.
• Умова на характеристику поля K є необхідною. Більш того, якщо характеристика поля K ділить порядок групи G то K[G] не є напівпростою алгеброю.

Для ${\displaystyle x=\sum _{g\in G}\lambda _{g}g\in K[G]}$ визначимо ${\displaystyle \epsilon (x)=\sum _{g\in G}\lambda _{g}}$. Нехай ${\displaystyle I=\ker \epsilon }$. тоді I є K[G]-підмодулем. Доведемо, що для кожного нетривіального підмодуля V алгебри K[G], ${\displaystyle I\cap V\neq 0}$. Нехай V — деякий підмодуль, і нехай ${\displaystyle v=\sum _{g\in G}\mu _{g}g}$ - довільний ненульовий елемент у V. Якщо${\displaystyle \epsilon (v)=0}$, то відразу ${\displaystyle v\in I\cap V}$. В іншому випадку, нехай ${\displaystyle s=\sum _{g\in G}1g}$. Тоді ${\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}$, тож ${\displaystyle s\in I}$ і ${\displaystyle sv=\left(\sum 1g\right)\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s}$, тож ${\displaystyle sv}$ є ненульовим елементом I і V. Це доводить, що V не є прямий доповненням I для всіх V, тож K[G] не є напівпростою алгеброю.

• Лема Шура
• Напівпростий модуль
• Теорема Веддерберна — Артіна

• Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). — Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008. — 156 с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8.
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.