Узагальнений розподіл Парето

Стандартна функція розподілу УРП записується[5]

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

де носій ${\displaystyle z\geq 0}$ при ${\displaystyle \xi \geq 0}$ і ${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$.

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(\xi z+1)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Пов'язані місцевості-масштаб сімейство розподілів, отриманих шляхом заміни аргументу Z з допомогою ${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$ і регулювання підтримки відповідно: кумулятивна функція розподілу це

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

для ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ коли ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$та ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$, де ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma >0}$ і ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$.

Функції щільності :

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$,

або еквівалентно

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}}$,

знову, для ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ при ${\displaystyle \xi \geqslant 0}$, і ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$.

Функція щільності є розв'язком диференційного рівняння:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

• Якщо параметри форми ${\displaystyle \xi }$ і локалізації ${\displaystyle \mu }$ обидва рівні нулю, УРП є експоненційним розподілом.
• Якщо параметр форми ${\displaystyle \xi >0}$, а параметр розташування ${\displaystyle \mu =\sigma /\xi }$, тоді УРП еквівалентний розподілу Парето з параметрами масштабу ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ і форми ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$.
• Якщо ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$тоді ${\displaystyle Y=\log(X)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$, де exGPD є експоненційний узагальнений розподіл Парето. На відміну від УРП, exGPD має моменти всіх порядків, незалежно від його параметрів та інтерпретацій параметрів масштабу і форми, що робить оцінки параметрів більш ефективними.
• УРП дуже схожий на Картавий розподілу.

Якщо U є рівномірно розподіленою на (0, 1], тоді

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

і

${\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

Обидві формули отримані шляхом інверсії СГО.

У статистичних пакеті MATLAB, легко можна згенерувати вибірку узагальнено Парето розподілених випадкових чисел використовуючи команду "gprnd".

• Розподіл задирок
• Розподіл Парето
• GAV розподіл
• Пикандса–Балкемы–теорема де Хаан

1. Coles, Stuart (12 грудня 2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer. с. 75. ISBN 9781852334598. (англ.)
2. Dargahi-Noubary, G. R. (1989). On tail estimation: An improved method. Mathematical Geology 21 (8): 829–842. doi:10.1007/BF00894450. (англ.)
3. Hosking, J. R. M.; Wallis, J. R. (1987). Parameter and Quantile Estimation for the Generalized Pareto Distribution. Technometrics 29 (3): 339–349. doi:10.2307/1269343. (англ.)
4. Davison, A. C. (30 вересня 1984). Modelling Excesses over High Thresholds, with an Application. У de Oliveira, J. Tiago. Statistical Extremes and Applications. Kluwer. с. 462. ISBN 9789027718044.
5. Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia; Mikosch, Thomas (1 січня 1997). Modelling extremal events for insurance and finance. с. 162. ISBN 9783540609315.

• Pickands, James (1975). Statistical inference using extreme order statistics. Annals of Statistics 3: 119–131. doi:10.1214/aos/1176343003. (англ.)
• Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). Residual life time at great age. Annals of Probability 2 (5): 792–804. doi:10.1214/aop/1176996548. (англ.)
• Lee, Se Yoon; Kim, J.H.K. (2018). Exponentiated generalized Pareto distribution:Properties and applications towards extreme value theory. Communications in Statistics - Theory and Methods 0: 1–25. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. (англ.)
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition. New York: Wiley. ISBN 0-471-58495-9. Chapter 20, Section 12: Generalized Pareto Distributions. (англ.)
• Barry C. Arnold (2011). Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions. У Duangkamon Chotikapanich. Modeling Distributions and Lorenz Curves. New York: Springer. ISBN 9780387727967. (англ.)
• Arnold, B. C.; Laguna, L. (1977). On generalized Pareto distributions with applications to income data. Ames, Iowa: Iowa State University, Department of Economics. (англ.)

• Mathworks: Generalized Pareto distribution