Історія логарифмів

Індійський математик VIII століття Вірасена , досліджуючи степеневі залежності, опублікував таблицю цілочисельних показників (тобто, фактично, логарифмів) для основ 2, 3, 4[3].

Вирішальний крок був зроблений у середньовічній Європі. Потреба в складних розрахунках у XVI столітті швидко росла, і значна частина труднощів була пов'язана з множенням і діленням багатозначних чисел, а також отриманням коренів. Наприкінці століття декільком математикам, майже одночасно, спала на думку ідея: замінити трудомістке множення на просте додавання, зіставивши з допомогою спеціальних таблиць геометричну і арифметичну прогресії, при цьому геометрична буде вихідною[4]. Тоді і ділення автоматично замінюється на незмірно більш просте і надійне віднімання, спростяться також піднесення до степеня і обчислення кореня.

Першим цю ідею опублікував у своїй книзі «Arithmetica integra» (1544) Міхаель Штіфель, який, втім, не доклав серйозних зусиль для практичної реалізації своєї ідеї[5][6]. Головною заслугою Штіфеля є перехід від цілих показників степеня до довільних раціональних[7] (перші кроки в цьому напрямку зробили Нікола Орем в XIV столітті і Нікола Шюке в XV столітті).

Джон Непер

У 1614 році шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував латинською мовою твір під назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). У ньому був короткий опис логарифмів і їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів синусів, косинусів і тангенсів, з кроком 1'. Термін логарифм, запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав в іншій своїй книзі «Побудова дивовижної таблиці логарифмів» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), виданої посмертно, в 1619 році його сином Робертом.

Судячи з документів, технікою логарифмування Непер володів вже до 1594 року[8]. Безпосередньою метою її розробки було полегшити Неперу складні астрологічні розрахунки[9]; саме тому в таблиці було включено тільки логарифми тригонометричних функцій.

Поняття функції тоді ще не було, і Непер визначив логарифм кінематично, зіставивши рівномірний і логарифмічно-уповільнений рух; наприклад, логарифм синуса він визначив так[10]:

Логарифмом даного синуса є число, яке арифметично зростало завжди з тією ж швидкістю, з якою повний синус почав геометрично спадати.

У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити диференціальним рівнянням[11]:

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}}$,

де M — масштабний множник, введений для того, щоб значення вийшло цілим числом з потрібною кількістю знаків ( десяткові дроби тоді ще не знайшли широкого застосування). Непер взяв M = 10 000 000.

Строго кажучи, Непер табулював не ту функцію, яка зараз називається логарифмом. Якщо позначити його функцію ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)}$, то вона пов'язана з натуральним логарифмом наступним чином[12]:

${\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))}$

Очевидно, ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (M)=0}$, тобто логарифм «повного синуса» (відповідного 90 °) є нуль — цього і домагався Непер своїм визначенням. Також він хотів, щоб усі логарифми були позитивні; неважко переконатися, що це умова для ${\displaystyle x<M}$ виконується. ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (0)=\infty }$.

Основна властивість логарифма Непера: якщо величини утворюють геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють прогресію арифметичну. Однак правила логарифмирования для неперової функції відрізнялися від правил для сучасного логарифма, наприклад:

${\displaystyle \operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)}$

Як згодом виявилось, через помилки в алгоритмі усі значення таблиці Непера містили невірні цифри після шостого знака[13]. Однак це не завадило новій методиці обчислень отримати найширшу популярність, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математиків. Йоганн Кеплер у виданий їм астрономічний довідник 1620 року вставив захоплене посвячення Неперу (не знаючи, що винахідник логарифмів вже помер). У 1624 році Кеплер опублікував свій власний варіант логарифмічних таблиць (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos) [14]. Використання логарифмів дозволило Кеплеру відносно швидко завершити багаторічну працю по складанню Рудольфінських таблиць, які закріпили успіх геліоцентричної астрономії.

Таблиці Брігса

Через кілька років після книги Непера з'явилися логарифмічні таблиці, що використовують більш близьке до сучасного розуміння логарифма. Лондонський професор Генрі Брігс видав 14-значні таблиці десяткових логарифмів (1617), причому не для тригонометричних функцій, а для довільних цілих чисел до 1000 (7 років потому Брігс збільшив кількість чисел до 20000) . В 1619 лондонський вчитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) перевидав логарифмічні таблиці Непера, виправлені і доповнені так, що вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів. У Спайделла теж були і логарифми самих чисел до 1000 (причому логарифм одиниці, як і у Брігса, дорівнював нулю) — хоча масштабування до цілих чисел Спайделл зберіг[15][16].

У 1620-і роки Едмунд Уінгейт і Вільям Отред винайшли першу логарифмічну лінійку, до появи кишенькових калькуляторів вона служила незамінним розрахунковим знаряддям інженера[17]. За допомогою цього компактного інструменту можна швидко робити всі алгебраїчні операції, в тому числі за участю тригонометричних функцій[18]. Точність розрахунків — близько 3 значущих цифр.

Логарифмічна лінійка. Множення 1,3 × 2 або ділення 2,6 / 2 (див. шкали C і D).

Незабаром з'ясувалося, що місце логарифмів в математиці не обмежується розрахунковими зручностями. У 1629 році бельгійський математик Грегуар де Сен-Венсан показав, що площа під гіперболою ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ змінюється за логарифмічним законом[19]. У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман) відкрив і опублікував у своїй книзі Logarithmotechnia розкладання логарифма у нескінченний «ряд Меркатора» [20]. На думку багатьох істориків, поява логарифмів значно вплинула на багато математичних концепцій, в тому числі на:

1. Формування і визнання загального поняття ірраціональних і трансцендентних чисел[21].
2. Поява показової функції і загального поняття числової функції, числа Ейлера, розвиток теорії різницевих рівнянь[22].
3. Початок роботи з нескінченними рядами[23].
4. Загальні методи рішення диференціальних рівнянь різних типів.
5. Істотний розвиток теорії чисельних методів, необхідних для обчислення точних логарифмічних таблиць.

До кінця XIX століття загальноприйнятого позначення логарифма не було, підстава a вказувалося то лівіше і вище символу log, то над ним. В остаточному підсумку математики прийшли до висновку, що найбільш зручне місце для заснування — нижче рядка, після символу log: ${\displaystyle \log _{a}b}$. Короткі позначки найбільш уживаних видів логарифма — ${\displaystyle \lg ,\;\ ln}$ для десяткового і натурального — з'явилися набагато раніше відразу у кількох авторів і закріпилися остаточно також до кінця XIX століття[24].

Близьке до сучасного розуміння логарифмування — як операції, зворотної зведенню в ступінь — вперше з'явилося у Валліса (1685) і Йоганна Бернуллі (1694), а остаточно було узаконено Ейлером[25]. У книзі «Введення в аналіз нескінченних» (1748) Ейлер дав сучасні визначення як показової, так і логарифмічної функцій, призвів розкладання їх в ступеневі ряди, особливо відзначив роль натурального логарифма ма[26]. Ейлеру належить і заслуга поширення логарифмічної функції на комплексну область.

Логарифмічні таблиці

З властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел досить знайти (за таблицями) і скласти їх логарифми, а потім з тих же таблиць (розділ «антилогарифми») виконати потенціювання, тобто знайти значення результату за його логарифмом. Виконання ділення відрізняється тільки тим, що логарифми віднімаються.

Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер (1614), і вони містили лише логарифми тригонометричних функцій, причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). У 1617 году Оксфордський професор математики Генрі Брігс опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми самих чисел, від 1 до 1000, з 8 (пізніше — з 14) знаками. Але і в таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 році в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker)[27].

В СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів[28]:

1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадіса, що видаються з 1921 року, використовувалися у навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класичні шестизначні таблиці, зручні для розрахунків з тригонометричними функціями.
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Перші спроби поширити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII—XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося — в першу чергу з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначене саме поняття логарифма[29]. Дискусія з цього приводу велася спочатку між Лейбніцем і Бернуллі, а в середині XVIII століття — між Д'Аламбером і Ейлером. Бернуллі і Д'Аламбер вважали, що слід визначити${\displaystyle \log(-x)=\log(x)}$, в той час як Лейбніц доводив, що логарифм негативного числа є уявним числом[30]. Повна теорія логарифмів негативних і комплексних чисел була опублікована Ейлером в 1747—1751 роках і по суті нічим не відрізняється від сучасної[31]. Хоча суперечка тривала (Д'Аламбер відстоював свою точку зору і детально аргументував її в статті своєї «Енциклопедії» і в інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття отримав загальне визнання.

У XIX столітті, з розвитком комплексного аналізу, дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. Гаус в 1811 році розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції[32], яка визначається як інтеграл від ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$. Ріман, спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію ріманових поверхонь.

Розробка теорії конформних відображень показала, що меркаторська проекція в картографії, що виникла ще до відкриття логарифмів (1550), може бути описана як комплексний логарифм[33].

• Історія математики
• Джон Непер

• Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков: Изд-во Харьков. ун-та, 1952. — 33 с.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Том II.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград, 1923. — 78 с.

• Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. —  — М.—Л.: Гостехиздат,1948. — 231 c.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — . — Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — М.: Наука, 1987. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики. — Архівовано 18 вересня 2011 у Wayback Machine. / Под ред. А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.:Наука, 1970. Том=II.
• Математика XVIII столетия // История математики. — / Под ред. А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Том III.