Вага (теорія представлень)

У теорії представлень вагою алгебри A над полем F називається гомоморфізм із A у поле F, або еквівалентно одновимірне представлення A над полем F. Воно є певною мірою аналогом мультиплікативного характеру групи. Подібне поняття також є для алгебр Лі, у цьому випадку вага представлення є узагальненням власного значення, і відповідний власний простір називається ваговим простором.

Мотивація і загальне поняття

Для множини матриць S , кожна з яких є діагоналізовною і які комутують завжди можна одночасно діагоналізувати всі елементи S. У випадку алгебрично замкнутого поля це еквівалентно тому, що будь-яка множина S напівпростих лінійних операторів скінченновимірного векторного простору V існує базис простору V елементи якого є власними векторами усіх лінійних операторів із S. Кожен із цих спільних власних векторів vV визначає лінійний функціонал на підалгебрі U у End(V) породженій множиною S; цей функціонал зіставляє кожному елементу U його власне значення для власного вектора v. Це відображення є мультиплікативним, і образом одиничного відображення є 1; тобто дане відображення є гомоморфізмом алгебри U у базове поля. Це узагальнення власного значення є прототипом поняття ваги.

Поняття ваги є пов'язаним із поняттям мультиплікативного характеру у теорії груп, тобто із гомоморфізмом χ із групи G у мультиплікативну групу поля F. Відображення χ: GF× задовольняє χ(e) = 1 (де e є одиничним елементом G) і

для всіх g, h у G.

Справді, якщо G діє на векторному просторі V над полем F, кожен власний простір для усіх елементів G, якщо такий існує, задає мультиплікативний характер на G: власне значення на цьому спільному власному просторі для кожного елемента групи.

Поняття мультиплікативного характеру можна розширити для кожної алгебри A над полем F, замінивши χ: GF× на лінійний функціонал χ: AF для якого:

для всіх a, b у A. Якщо алгебра A діє на векторному просторі V над полем F то будь-який спільний власний простір задає гомоморфізм із A у F, що присвоює кожному елементу A його власне значення.

Якщо A є алгеброю Лі (яка загалом не є асоціативною алгеброю), тоді замість вимоги мультиплікативності характеру вимагається щоб він відображав дужки Лі у відповідний комутатор; але оскільки F є комутативним це означає що значення характеру має бути рівним нулю: χ([a,b])=0.

Вагою на алгебрі Лі g над полем F називається лінійне відображення λ: gF із λ([x, y])=0 для всіх x, y у g. Відповідно будь-яка вага на алгебрі Лі g є рівною нулю на похідній алгебрі [g,g] і тому повністю визначається вагою на комутативній алгебрі Лі g/[g,g]. Тому фактично поняття ваги становить інтерес саме для комутативних алгебр Лі, де вони зводяться до поняття узагальненого власного значення для комутуючих лінійних операторів.

Якщо G є групою Лі або алгебричною групою, то мультиплікативний характер θ: GF× задає вагу χ = dθ: gF на відповідній алгебрі Лі за допомогою диференціювання.

Ваги у теорії представлень напівпростих алгебр Лі

Нехай напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем і — її підалгебра Картана. Підалгебра Картана є комутативною і тому для неї має зміст поняття ваги як воно подано у вступному розділі. Ці поняття зокрема також специфічне поняття коренів (які є ненульовими вагами для приєднаного представлення) відіграють ключову роль у вивченні і класифікації напівпростих алгебр Лі і їх представлень.

Вага представлення

Приклад ваг представлення алгебри Лі sl(3,C)

Нехай V — представлення алгебри Лі над алгебрично замкнутим полем F і λ — лінійний функціонал на . Тоді ваговим простором V з вагою λ називається підпростір за означенням рівний

.

Вагою представлення V називається лінійний функціонал λ для якого ваговий простір є ненульовим. Ненульові елементи вагового простору називаються ваговими векторами. Вагові вектори є одночасно власними векторами для дії усіх елементів . Відповідні власні значення задає функціонал λ.

Множина

є прямою сумою різних вагових просторів і V' є підмодулем V. Якщо V = V' то V називається ваговим модулем. Зокрема у випадку скінченновимірних представлень V завжди є рівним прямій сумі своїх вагових просторів. Звідси випливає також скінченність множини ваг у цьому випадку.

Дія кореневих векторів

Якщо V є приєднаним представленням алгебри то ненульові ваги V називаються коренями, вагові простори називаються кореневими просторами, а вагові вектори - кореневими векторами. А саме, лінійний функціонал на називається коренем, якщо і існує ненульовий у для якого

для всіх у . Корені напівпростої алгебри Лі утворюють систему коренів у абстрактному означенні.

Система коренів повністю визначає відповідну напівпросту алгебру Лі і використовується для їх класифікації. Для теорії представлень основне значення має такий результат: Якщо V є представленням , v є ваговим вектором з вагою і X — кореневим вектором з коренем , то

для всіх H у . Тобто є або нульовим вектором або ваговим вектором з вагою . Тобто при дії ваговий простір з вагою відображається у ваговий простір з вагою .

Цілочисловий елемент

Цілочислові елементи (трикутна ґратка), домінантні цілочислові елементи (чорні точки), і фундаментальні ваги для sl(3,C)

Нехай — дійсний простір що є дійсною оболонкою коренів . Введемо на ньому скалярний добуток одержаний із форми Кіллінга. Вся ця побудова має зміст оскільки усі значення форми Кіллінга на коренях є раціональними числами і форму можна лінійно поширити на дійсну лінійну оболонку отримавши при цьому скалярний добуток. Цей скалярний добуток також буде інваріантним щодо групи Вейля, яка є породженою відбиттями щодо гіперплощин ортогональних до коренів. За допомогою скалярного добутку можна ідентифікувати із відповідним простором . Також можна ввести поняття кокореня для кореня як

.

Елемент називається цілочисловим якщо

для всіх коренів . Мотивацією для цієї умови є те що кокорінь можна ідентифікувати із елементом H у стандартній базі для sl(2,F)-підалгебри у g.[1] Відповідно до стандартних результатів для sl(2,F), власні значення для будь-якого скінченновимірного представлення є цілими числами. Тому вага будь-якого скінченновимірного представлення є цілочисловою.[2]

Фундаментальними вагами називаються ваги, що утворюють базис у що є двоїстим до множини кокоренів, що відповідають простим кореням. Тобто фундаментальні ваги задаються умовами

де є простими коренями. Елемент є цілочисловим, якщо і тільки якщо він є цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг.[3] Множина всіх -цілочислових ваг є ґраткою у що називається ваговою ґраткою для і позначається .

На малюнку зображено приклад алгебри Лі sl(2,F), система коренів якої є системою . У цьому випадку є два прості корені, і . Перша фундаментальна вага, , є ортогональною до і ортогонально відображається на половину ; подібні властивості також виконуються для . Ваговою ґраткою у цьому випадку є трикутна ґратка.

Якщо алгебра Лі є алгеброю Лі групи Лі G то називається аналітично цілочисловим (G-цілочисловим) елементом якщо кожен t у для якого задовольняє властивість . Якщо представлення є диференціалом представлення G, тоді будь-яка вага представлення буде G-цілочисловою.[4] Для напівпростої групи G множина всіх G-цілочислових ваг є підґраткою P(G) ⊂ P(). Якщо G є однозв'язною, то P(G) = P(). Якщо G не є однозв'язною, то ґратка P(G) є меншою P() і їх факторгрупа є ізоморфною фундаментальній групі G.[5]

Часткове впорядкування на множині ваг

На множині ваг можна ввести часткове упорядкування, яке використовується при описі і класифікації представлень алгебри g. Нехай R — множина коренів і — додатні корені.

Нехай і — два елементи у . Елемент називається вищим або старшим, ніж (позначається ), якщо є лінійною комбінацією додатних коренів із невід'ємними цілими коефіцієнтами.[6]

Домінантні ваги

Цілочисловий елемент λ називається домінантним якщо для кожного додатного кореня γ. Еквівалентно, λ є домінантним якщо він є невід'ємною цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. У випадку , домінантні цілочислові елементи належать сектору із кутом 60 градусів.

Множина всіх λ (не обов'язково цілочислових) для яких називається замкнутою фундаментальною камерою Вейля асоційованою із даною множиною додатних коренів.

Теорема про старшу вагу

Вага представлення алгебри називається старшою вагою якщо кожна інша вага є меншою, ніж .

Представлення (не обов'язково скінченновимірне) V називається модулем найвищої ваги якщо воно є породжене ваговим вектором vV який переходить у нуль при дії будь-якого додатного кореневого вектора у . Кожен незвідний -модуль із старшою вагою є модулем старшої ваги, але у нескінченновимірному випадку, модуль старшої ваги може не бути незвідним.

Теорія незвідних представлень алгебри значною мірою будується на ідеї старшої ваги. Ключовим результатом тут є теорема про старшу вагу, яка стверджує що

(1) Для кожного незвідного скінченновимірного представлення існує старша вага,
(2) Старша вага є завжди домінантним, цілочисловим елементом,
(3) Два незвідні (можливо нескінченновимірні) представлення із однаковою старшою вагою є ізоморфними,
(4) Кожен елемент є старшою вагою деякого незвідного представлення,
(5) Представлення зі старшою вагою є скінченновимірним тоді і тільки тоді коли ця вага є цілочисловою і домінантною. Таким чином існує ізоморфізм між домінантними цілочисловими вагами і класами ізоморфізму скінченновимірних незвідних представлень алгебри Лі.

Ваги незвідних скінченновимірних представлень

Якщо є вагою деякого незвідного скінченновимірного представлення, а — коренем алгебри Лі, то існують цілі числа для яких і всі лінійні функціонали виду є вагами, тобто утворюється неперервна послідовність елементи якої відрізняються на . До того ж відбиття у щодо гіперплощини ортогональної до просто розвертає порядок у цій послідовності. Зокрема якщо є старшою вагою, то для всіх число r є рівним нулю.

Для незвідного скінченновимірного представлення із старшою вагою цілочисловий елемент є вагою тоді і тільки тоді, коли він і всі його спряжені щодо дії групи Вейля елементи є нижчими, ніж .

Для розмірності незвідного скінченновимірного представлення із старшою вагою виконується формула Вейля

де позначає суму додатних коренів поділену на 2.

Якщо є системою фундаментальних ваг, то називаються фундаментальними незвідними модулями.

Значення фундаментальних незвідних модулів полягає у тому, що якщо вони відомі, то всі інші незвідні скінченновимірні модулі (що перебувають у взаємно однозначній відповідності із цілочисловими домінантними вагами) отримуються як підмодулі їх тензорних добутків. Зокрема якщо то є підмодулем тензорного добутку , де позначає тензорний степінь.

Модулі , що відповідають фундаментальним вагам називаються базовими фундаментальними. Більшість інших фундаментальних модулів можна отримати як зовнішні добутки базових фундаментальних модулів.

Зокрема для класичних алгебр типу An розмірність базових фундаментальних модулів є рівною n+1, а всі інші фундаментальні модулі отримуються як і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність де позначає біноміальний коефіцієнт.

Для класичних алгебр типу Bn розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n+1, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг отримуються як і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність Фундаментальний модуль для фундаментальної ваги для алгебри Bn має розмірність 2n і його можна отримати із алгебри Кліффорда простору .

Для класичних алгебр типу Dn розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг отримуються як і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність Фундаментальні модулі для фундаментальних ваг для алгебри Dn обидва мають розмірність 2n і їх можна отримати із алгебри Кліффорда простору .

Для класичних алгебр типу Cn розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для інших фундаментальних ваг отримуються як ядра деяких лінійних відображень із у і для розмірностей цих модулів виконується рівність

Примітки

  1. Hall, 2015 Theorem 7.19 і Eq. (7.9)
  2. Hall, 2015 Proposition 9.2
  3. Hall, 2015 Proposition 8.36
  4. Hall, 2015 Proposition 12.5
  5. Hall, 2015 Corollary 13.8 і Corollary 13.20
  6. Hall, 2015 означення 8.39

Див. також

Література

  • Carter, R. (2005). Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press. ISBN 0-521-85138-6.
  • R. Carter, I. Macdonald, G. Segal Lectures on Lie groups and Lie algebras (London Mathematical Society Student texts Vol. 32). 5th ed. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-49579-2
  • Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998). Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66348-9..
  • Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222 (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-3319134666.
  • Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
  • Winter, David J. (1972). Abstract Lie algebras. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London. ISBN 978-0-486-46282-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.