Кирпатий куб

При визначенні метричних властивостей кирпатого куба доводиться розв'язувати кубічні рівняння і користуватися кубічними коренями — тоді як для ахіральних архімедових тіл і для платонових тіл не потрібно нічого складнішого від квадратних рівнянь і квадратних коренів. Тому кирпатий куб, на відміну від платонових і ахіральних архімедових тіл, не допускає евклідової побудови[4]. Це стосується і кирпатого додекаедра, а також двоїстих їм каталанових тіл.

При описі метричних властивостей і кутів кирпатого куба важливу роль відіграє константа трибоначчі:

${\displaystyle t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.}$.

Якщо кирпатий куб має ребро довжини ${\displaystyle a}$його площа поверхні та об'єм виражаються як

${\displaystyle S=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19{,}8564065a^{2},}$

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\;a^{3}\approx 7{,}8894774a^{3}.}$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнює

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {3-t}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}3437134a;}$

радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер в їх серединах) —

${\displaystyle \rho ={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2472232a.}$

Вписати в кирпатий куб сферу — так, щоб вона дотикалася до всіх граней, — неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині кирпатого куба з ребром ${\displaystyle a}$ (вона буде дотикатися тільки до всіх квадратних граней в їх центрах), дорівнює

${\displaystyle r_{4}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}}}={\sqrt {\frac {t-1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}1426135a.}$

Відстань від центра багатогранника до центра будь-якої трикутної грані перевищує ${\displaystyle r_{4}}$ і дорівнює

${\displaystyle r_{3}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{3}}}}={\sqrt {\frac {t+1}{12(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2133558a.}$

Двогранні кути між двома суміжними трикутними гранями кирпатого куба рівні ${\displaystyle \alpha _{33}=\arccos \,{\frac {1-2t}{3}}\approx 153{,}23^{\circ },}$ між суміжними квадратною і трикутною гранями ${\displaystyle \alpha _{43}=\arccos \left(-{\sqrt {1-{\frac {2}{3t}}}}\right)\approx 142{,}98^{\circ }.}$

Тілесний кут при вершині дорівнює ${\displaystyle 3\alpha _{33}+2\alpha _{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi .}$

«Лівий» кирпатий куб можна розмістити у декартовій системі координат так, щоб координати 12 його вершин були всіма парними перестановками тих трійок чисел ${\displaystyle (\pm t;\pm 1;\pm t^{-1}),}$ серед яких парне число від'ємних, а координати решти 12 вершин — всіма непарними перестановками тих трійок, серед яких непарна кількість від'ємних.

Якщо вчинити навпаки — взяти парні перестановки трійок з непарним числом мінусів і непарні перестановки трійок з парним числом мінусів — отримаємо «правий» варіант кирпатого куба.

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ в обох випадках буде центром описаної і напіввписаної сфер багатогранника.

• Weisstein, Eric W. Кирпатий куб(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1956.