Клас Ейлера

У математиці, зокрема алгебричній топології, диференціальній геометрії і диференціальній топології, клас Ейлера є прикладом характеристичного класу для орієнтовних дійсних векторних розшарувань. Названий на честь Леонарда Ейлера оскільки у випадку дотичного розшарування многовиду він визначає його характеристику Ейлера.

Клас Ейлера можна задати у кілька еквівалентних способів: як обструкцію до існування перетинів, що не рівні нулю всюди, як обернене відображення орієнтаційної форми при перетині або із використанням пфаффіана і гомоморфізму Чженя — Вейля. Для плоских розшарувань існують і інші еквівалентні означення.

Основна ідея і мотивація

Клас Ейлера є характеристичним класом, зокрема топологічним інваріантом на орієнтовних векторних розшаруваннях: два ізоморфні орієнтовні векторні розшарування мають однакові класи Ейлера. У випадку диференційовних многовидів клас Ейлера дотичних розшарувань визначає характеристику Ейлера многовида.

Клас Ейлера є обструкцією для існування перетинів, що ніде не є рівними нулю. Зокрема характеристика Ейлера замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида характеристика Ейлера є обструкцією для існування векторних полів без сингулярних точок.

Для підмножини базового простору векторного розшарування і перетину, що ніде не є рівним нулю можна ввести відносний клас Ейлера. Він задає обструкцію до продовження перетину без нулів на весь базовий простір.

Означення

Аксіоматичне означення

Клас Ейлера повністю визначається аксіомами.

Для кожного орієнтовного, -вимірного дійсного векторного розшарування існує єдиним чином визначений елемент когомологічної групи

так, що при цьому виконуються умови:

  • для кожного неперервного відображення і обернених відображень векторних розшарувань, перетинів і когомологічних класів:
  • для тавтологічного комплексного лінійного розшарування , яке розглядається як 2-вимірне дійсне векторне розшарування, елемент є генератором групи .

Когомологічний клас (елемент групи когомологій) називається класом Ейлера для розшарування .

Означення в термінах теорії обструкцій

Для -вимірного орієнтовного векторного розшарування над геометричною реалізацією симпліціального комплексу означення Ейлера можна одержати за допомогою класу обструкції

для продовження перетину асоційованому векторному розшаруванні на -кістяк комплексу .

Група коефіцієнтів

є канонічно ізоморфною до і цей ізоморфізм відображає на клас Ейлера .[1]

Означення за допомогою класу орієнтації

Для орієнтовного -вимірного векторного розшарування і доповнення нульового перетину можна розглянути образ при класу орієнтації (класу Тома).

у . Оскільки є стягуваним простором, то є гомотопною еквівалентністю і

є ізоморфізмом. Клас Ейлера за означенням є

.

Еквівалентно є рівним

для довільного перетину (наприклад нульового).

Якщо для розшарування існує перетин, що ніде не є рівним нулю, тобто то .

Означення у теорії Чженя — Вейля

Якщо розглядати векторні розшарування над диференційовним многовидом то побудову варіанта класу Ейлера можна здійснити за допомогою теорії Чженя — Вейля. У цьому випадку клас Ейлера приймає значення у гомологічних групах із дійсними коефіцієнтами, тобто . Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності клас Ейлера завжди є нульовим.

Для орієнтовного векторного розшарування розмірності можна розглянути асоційоване -головне розшарування (реперне розшарування) .

Для -головного розшарування із формою зв'язності клас Ейлера задається за допомогою пфаффіана кососиметричного оператора:

для якого і гомоморфізма Чженя — Вейля:

.

А саме для форми кривини , яка є кососиметричною за допомогою пфаффіана одержується диференціальна форма

яка є замкнутою і задає клас у когомології де Рама, який і називається класом Ейлера. Клас Ейлера є незалежним від вибору зв'язності у цьому означенні.

Згідно із узагальненою теоремою Гауса — Бонне[2] подібне диференціальне означення є еквівалентним попередньому топологічному, якщо розглядати компактні диференційовні многовиди і перейти до дійсних коефіцієнтів.

Клас Ейлера для SL(n,R)-головних розшарувань

При ізоморфізмах

пфаффіану відповідає когомологічний клас у когомології класифікуючих просторів , тобто клас Ейлера універсального розшарування . Для кожного -розшарування можна використати класифікуюче відображення для визначення класу Ейлера

. Він є рівним класу Ейлера асоційованого векторного розшарування.

Клас Ейлера для сферичних розшарувань

Для довільного сферичного розшарування теж можна ввести Клас Ейлера.[3]

У випадку одиничного сферичного розшарування ріманового векторного розшарування при цьому одержується введений вище клас Ейлера для векторного розшарування.

Властивості

  • Канонічний гомоморфізм відображає клас Ейлера у n-ий клас Штіфеля-Вітні ab.
  • Кап добуток є рівний найвищому класу Понтрягіна .
  • Для замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида із дотичним розшаруванням і фундаментальним класом характеристика Ейлера є рівною .
  • Якщо є векторним розшаруванням рівним але із протилежною орієнтацією, то .
  • Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності . Для замкнутих, орієнтовних, диференційовних многовидів непарної розмірності характеристика Ейлера є рівною 0.
  • Для суми Вітні векторних розшарувань:
    де позначає кап добуток.
  • Для довільного перетину для -вимірного орієнтовного векторного розшарування над -вимірним замкнутим орієнтовним многовидом фундаментальний клас множини нулів у є двоїстим за Пуанкаре до . У випадку дотичного розшарування звідси випливає теорема Пуанкаре — Хопфа.
  • Якщо є нормальним розшаруванням замкнутого орієнтовного підмноговиду тоді числу самоперетинів .
  • Послідовність Гизіна: Для -вимірного орієнтовного векторного розшарування (із множиною ненульових векторів) кап добуток і клас Ейлера задають точну послідовність
    .

Примітки

  1. Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
  2. Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684
  3. Bott-Tu (op.cit.), Розділ 11

Див. також

Література

  • John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
  • Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
  • Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
  • Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
  • Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.