Закон Бернуллі

Для ламінарної течії ідеальної нестисливої рідини рівняння Бернуллі має вигляд:

${\displaystyle h+{\frac {v^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho g}}={\text{const}}}$

або

${\displaystyle h\rho g+p+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\text{const}}}$,

де ρ — густина рідини; g — прискорення вільного падіння.

В останньому рівнянні всі члени мають розмірність тиску, p — статичний тиск; ${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}}$ — динамічний тиск; hρg — ваговий тиск.

Якщо такі рівняння записати для двох перерізів течії, то матимемо:

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

Для горизонтальної течії середні члени у лівій і правій частині рівняння скорочуються і воно набуває вигляду:

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

тобто в усталеній горизонтальній течії ідеальної нестисливої рідини в кожному її перерізі сума статичного і динамічного тисків буде сталою. Отже, в тих місцях течії, де швидкість рідини більша (вузькі перерізи), її динамічний тиск збільшується, а статичний зменшується. На цьому явищі заснована дія струминних насосів, ежекторів, витратомірів Вентурі і Піко, пульверизаторів.

Рівняння Бернуллі є наслідком закону збереження енергії. Якщо рідина не ідеальна, то її механічна енергія розсіюється і тиск вздовж трубопроводу, яким тече така рідина, спадає. Для реальної в'язкої рідини в правій частині рівнянь, слід додати величину втрат тиску Δр_вт на гідравлічний опір рухові.

Рівняння Бернуллі широко застосовують для розв'язання багатьох гідравлічних задач у нафтогазовій справі.

Інтегра́л Берну́ллі — це інтеграл, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу тиск ${\displaystyle p}$, що встановився: (${\displaystyle p=F(\rho )}$) через швидкість ${\displaystyle \mathbf {V} }$ потоку у відповідній точці та через силовий потенціал ${\displaystyle \Pi \ (x,y,z)}$ об'ємних сил:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\rho (p)}}\ =C-{\frac {|\mathbf {V} |^{2}}{2}}-\Pi \ .}$

Стала ${\displaystyle C}$ має для кожної лінії течії (траєкторії, або вихрової лінії) своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії течії (траєкторії, або вихрової лінії, відповідно) до іншої. Якщо рух потенціальний, або вихрові лінії збігаються з лініями течії (гвинтові течії) стала ${\displaystyle C}$ одна і та ж для всього потоку.

Інтеграл Бернуллі запропоновано Д. Бернуллі (D. Bernoulli, 1738).

Для руху, що не встановився, інтеграл Бернуллі (для нестаціонарного випадку його називають інтегралом Коші—Лагранжа[1]) має місце за наявності потенціалу швидкостей ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\rho (p)}}\ =f(t)-{\frac {|\mathbf {V} |^{2}}{2}}-\Pi \ -{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},}$

причому ${\displaystyle \mathbf {V} ={\text{grad}}\,\varphi (x,y,z,t)}$ а ${\displaystyle f(t)}$ — довільна функція часу.
Для нестисливих рідин ліва частина рівнянь має вигляд: ${\displaystyle {\frac {p}{\rho }}.}$

Для нестаціонарного вихрового руху в'язкого нестисливого середовища ${\displaystyle D}$ в полі потенціальних об'ємних сил буде справедлива узагальнена формула Коші—Лагранжа[2].

Для випадку існування незбуреного потоку на нескінченності, який обтікає тверду, у загальному випадку рухому границю ${\displaystyle S}$ при відсутності об'ємних сил узагальнена формула Коші—Лагранжа буде мати вигляд (в безрозмірній формі):

${\displaystyle C_{P}(\mathbf {r} ,\tau )=1-{|\mathbf {v} \left(\mathbf {r} ,\tau \right)|}^{2}+2\left(\ \int \limits _{S\cup \sigma \ }\!{{\frac {d{\mathbf {r} }_{0}}{d\tau }}\cdot \mathbf {w} (\mathbf {r} ,{\mathbf {r} }_{0},\tau )d{r_{0}}}+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{S}{{\frac {\partial \,'\ \!\Gamma \ \!({\mathbf {r} }_{0},\tau )}{\partial \tau }}\alpha \left(\mathbf {r} ,{\mathbf {r} }_{0},{\mathbf {r} }^{*}\right)d{r_{0}}}\right),}$

де штрих означає, що диференціювання здійснюється в системі координат, пов'язаній з границею ${\displaystyle S}$; ${\displaystyle \tau }$ – безрозмірний час; ${\displaystyle \mathbf {w} }$ – швидкість, що індукується елементарним об'ємом ${\displaystyle \delta \ \!\!\sigma \ }$ завихореного середовища ${\displaystyle \sigma \ \!\!\in \!D}$ в розрахунковій точці ${\displaystyle \mathbf {r} \in D}$; ${\displaystyle \Gamma \ }$ – циркуляція елементарного об'єму ${\displaystyle \delta \ \!\!\sigma \ }$ завихореного середовища ${\displaystyle \sigma \ \!\!\in \!D}$, який прилягає до границі ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \Gamma \ \!\!>0}$ – за годинниковою стрілкою); ${\displaystyle \alpha }$ – кут, під яким видно з точки ${\displaystyle \mathbf {r} }$ лінію, що сполучає точки ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{0}}$ та довільну точку ${\displaystyle {\mathbf {r} }^{*}}$, таку, що ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{0}-{\mathbf {r} }^{*}\!\in S}$. Як характерна швидкість взята незбурена швидкість потоку на нескінченності ${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }}$.[2]

Трубка Вентурі застосовується для визначення швидкості течії у трубах за допомогою вимірювання тиску у двох різних точках трубопроводу та, таким чином, допомагає запобігти наслідкам кавітації. Трубка Вентурі поступово звужує діаметр трубопроводу. Такий звужувальний отвір обмежує потік рідини, що зумовлює різницю тисків у точках вимірювання (на початку звуження та у найвужчій частині). Базується дане вимірювання на ефекті Вентурі, формулу для якого можна отримати із рівняння неперервності та закону Бернуллі:

${\displaystyle v_{1}S_{1}=v_{2}S_{2},}$

де S — площа поперечного перерізу потоку рідини, у перпендикулярній до напрямку швидкості площині,

${\displaystyle p_{1}-p_{2}=\rho {\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}},}$

${\displaystyle v_{2}=S_{1}{\sqrt {{\frac {2}{\rho }}{\frac {p_{1}-p_{2}}{S_{1}^{2}-S_{2}^{2}}}}}}$

Донедавна пояснення підіймальної сили літака виглядало так: крило має особливу будову — знизу воно пряме, а його верхня частина заокруглена. Це дозволяє збільшити довжину верхньої частини контуру профілю крила. Згідно із законом Бернуллі, із збільшенням швидкості тиск зменшується. А оскільки повітря долає шлях під крилом та над крилом за однаковий проміжок часу, під крилом виникає область із збільшеним тиском, що зумовлює підйом літака у повітря. Таким чином виникає підйомна сила.

Проте, згідно з сучасними уявленнями, підіймальна сила крила виникає не внаслідок долання повітрям більшого шляху на верхній поверхні крила за той самий час. Рух повітряної маси перед крилом можна вважати суцільним, він характеризується одним показником швидкості. Коли повітряна маса контактує з крилом, вона розбивається на дві частини, які, внаслідок несиметричного обтікання, мають різні швидкості і це зумовлює різний тиск. Однак, на відміну від колишніх уявлень, ці повітряні потоки насправді не поєднуються на кінці крила і тому більша довжина верхньої частини контуру профілю крила не означає більшої швидкості руху повітря. Отже, хоча закон Бернуллі і можна застосувати для повітряних мас, які розсікаються крилом (більша швидкість зумовлює менший тиск), проте він один не пояснює підіймальну силу крила. Для повного пояснення слід також застосовувати теорему Кутта-Жуковського та умову Кутта-Жуковського[3].

• Ідеальна рідина

• Василенко С. М., Кулінченко В. Р., Шевченко О. Ю., Піддубний В. А. Гідрогазодинаміка. — К.: Кондор-Видавництво, 2016. — 676 с. — ISBN 978-617-7278-58-9
• Завойко Б. М., Лещій Н. П. Технічна механіка рідин і газів: основні теоретичні положення та задачі: навч. посібник для студ. інж.-техн. спец. / За ред. В. М. Жука. — Львів: Новий Світ-2000, 2004. — 120 с. : іл. + додатки. — (Вища освіта в УкраЇні). — ISBN 966-7827-44-5 (PDF-файл)
• Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник. — К.: НАУ, 2004. — 336 с. — ISBN 966-598-174-9
• Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник. — К.: Вища школа, 2002. — 277с.:іл. - ISBN 966-642-093-7
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.
• Милн-Томсон Л. М. «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964