Інтегрувальний множник

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

Ідея полягає у віднайдені деякої функції ${\displaystyle M(x)}$, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

І множення на ${\displaystyle M(x)}$ дає

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по ${\displaystyle x}$

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}$

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

Тоді ми інтегруємо обидва боки по ${\displaystyle x}$, спочатку через перейменування ${\displaystyle x}$ у ${\displaystyle t}$, отримуємо

${\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}$

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

${\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли ${\displaystyle Q(x)=0}$, ми отримуємо

${\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}$

де ${\displaystyle C}$ є сталою.

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.