П'єр-Симон Лаплас

При вирішенні прикладних задач Лаплас розробив методи математичної фізики, які широко використовуються і в наш час. Особливо важливі результати належать Лапласу в розробці теорії потенціалу та спеціальних функцій. Його ім'ям названо перетворення Лапласа та рівняння Лапласа.

Він далеко просунув лінійну алгебру. Зокрема, Лаплас подав розклад визначника за мінорами.

Лаплас розширив та систематизував математичний фундамент теорії ймовірностей, запровадив похідні функції. Перша книга «Аналітичної теорії ймовірностей» присвячена математичним основам. Власне теорія ймовірностей починається у другій книзі, в застосуванні до дискретних випадкових величин. Там же подано доведення граничних теорем Муавра — Лапласа та додатки до математичної обробки спостережень, статистики народонаселення та «моральних наук».

Лаплас розвинув також теорію похибок та наближень завдяки своєму методу найменших квадратів.

Лаплас довів стійкість сонячної системи, яка полягає в тому, що завдяки руху планет в один бік, малим ексцентриситетам та малим взаємним нахилам їхніх орбіт, повинна існувати незмінюваність середніх відстаней планет від Сонця, а коливання інших елементів орбіт повинні вкладатися у вельми тісні межі.

Лаплас запропонував першу математично обґрунтовану гіпотезу космогонії утворення всіх тіл Сонячної системи, названу його ім'ям: гіпотеза Лапласа. Він також перший висловив припущення, що деякі туманності, які можна спостерігати на зоряному небі, насправді є галактиками, подібними до нашого Чумацького шляху.

Він далеко просунув теорію збурень та переконливо показав: всі відхилення розташування планет від передбачених законами Ньютона (точніше кажучи, передбачених розв'язком задачі двох тіл) пояснюються взаємовпливом планет, який можна вирахувати за допомогою тих же законів Ньютона. Ще 1695 року Галлей виявив, що Юпітер протягом кількох століть поступово прискорюється і наближається до Сонця, а Сатурн, навпаки, сповільнюється й віддаляється від Сонця. Деякі вчені вважали, що Юпітер врешті впаде на Сонце. Лаплас відкрив причини цих зсувів (нерівностей), які полягали у взаємовпливі планет, і показав, що йдеться лише про періодичні коливання, і все повертається у вихідне положення кожні 929 років[5].

До відкриттів Лапласа чимало вчених намагалися пояснити відхилення теорії від спостережень рухом ефіру, скінченною швидкістю тяжіння та іншими неньютонівськими факторами; Лаплас надовго поховав подібні спроби. Він, як раніше Клеро, проголосив: в небесній механіці немає інших сил, окрім ньютоновських, і аргументовано обґрунтував цю тезу.

Лаплас відкрив, що прискорення в русі Місяця, яке тоді дивувало всіх астрономів (вікова нерівність), теж є періодичною зміною ексцентриситету місячної орбіти, і виникає під впливом тяжіння великих планет. Розрахований Лапласом зсув Місяця під впливом цих факторів добре відповідав спостереженнями.

За нерівномірністю в русі Місяця Лаплас уточнив стискування земного сфероїда. Загалом дослідження про рух нашого супутника, проведені Лапласом, дали можливість скласти точніші таблиці Місяця, що, у свою чергу, сприяло вирішенню навігаційної проблеми визначенні довготи на море.

Лаплас перший побудував точну теорію руху галілеєвих супутників Юпітера, орбіти яких через взаємовпливи постійно відхиляються від кеплерівських. Він також виявив зв'язок між параметрами їхніх орбіт, описаних двома законами, які отримали назву «законів Лапласа».

Обчисливши умови рівноваги кільця Сатурна, Лаплас довів, що вони можливі лише при швидкому обертанні планети близько осі, що було доведено пізніше спостереженнями Вільяма Гершеля.

Лаплас розробив теорію припливів за допомогою двадцятирічних спостережень рівня океану в французькому місті Брест.

Лапласу належить барометрична формула, що зв'язує густину повітря, висоту, вологість та прискорення вільного падіння. Він також займався геодезією та теорією рефракції, винайшов крижаний калориметр.

Спільно з Антуаном Лавуазьє у 1779—1784 роках Лаплас займався питаннями теорії теплоти, винайшов крижаний калориметр, боровся з теорією флогістону. Лаплас опублікував низку праць з теорії капілярності та встановив закон Лапласа для капілярного тиску.

З 1809 року Лаплас займався проблемами акустики; він вивів формулу для швидкості поширення звуку в повітрі.

Лаплас обернув закон Біо — Савара в математичну форму елементарної взаємодії між елементом електричного струму та намагніченою точкою.

Важливими були також дослідження Лапласа в галузі гідродинаміки.

Фактично, він передбачив чорні діри:

За філософськими поглядами Лаплас був агностиком; відомий його діалог з Наполеоном:

Лаплас був також прихильником абсолютного детермінізму. Він постулював, що якби якась розумна істота змогла дізнатися положення та швидкості всіх частинок у світі в певний момент, вона могла б абсолютно точно передбачити всі світові події. Така гіпотетична істота згодом було названа демоном Лапласа.

В своєму Essai philosophique sur les probabilités (1814), Лаплас встановив математичну систему індуктивного виведення на основі ймовірності, яку ми сьогодні називаємо Баєсовою. Він почав свій твір серією принципів ймовірності, першими шістьма з яких були:

1. Ймовірність це відношення кількості «бажаних подій» до загальної кількості подій.
2. Перший принцип припускає однакову ймовірність для всіх подій. Коли це не так, ми спершу мусимо визначити ймовірності кожної події. Тоді, ймовірність — це сума ймовірностей всіх бажаних подій.
3. Для незалежних подій, ймовірність настання всіх з них — це добуток їхніх ймовірностей.
4. Для подій які є залежними, ймовірність події B, що настає після A (або спричиненої A), — це ймовірність події A помножена на ймовірність того, що A і B трапляться одночасно.
5. Ймовірність того, що станеться A, якщо сталася B, це ймовірність того, що стались A і B, розділена на ймовірність B.
6. Якщо події A_i ∈ {A₁, A₂, ...A_n} утворюють вичерпний набір можливих причин події B, Pr(B) = Pr(A₁, A₂, …, A_n), то

${\displaystyle \Pr(A_{i}\mid B)=\Pr(A_{i}){\frac {\Pr(B\mid A_{i})}{\sum _{j}\Pr(A_{j})\Pr(B\mid A_{j})}}.}$

Однією з добре відомих формул, що випливають з цієї системи, є правило наступництва, що подається як принцип номер сім. Нехай деяке випробування має лише два можливі результати, умовно позначені «успіх» та «провал». Якщо припустити, що мало, або взагалі нічого не відомо апріорі про відносні правдоподібності результатів, Лаплас вивів формулу ймовірності того, що наступне випробування буде успішним:

${\displaystyle \Pr(N)={\frac {s+1}{n+2}}}$

де s — це кількість попередньо спостережених успіхів, а n — загальна кількість здійснених випробувань. Його досі використовують як оцінку ймовірності події, якщо ми знаємо простір подій, але маємо лише невелику кількість спостережень.

Правило наступництва піддавалось численній критиці, частково через приклад, який Лаплас використав для того, аби його проілюструвати. Він визначив, що ймовірність того, що сонце зійде завтра, якщо врахувати, що воно в минулому успішно це робило, дорівнювала

${\displaystyle \Pr({\text{S}})={\frac {d+1}{d+2}}}$

де d кількість днів, коли сонце сходило в минулому. Цей результат висміювався як абсурдний, і деякі автори зробили висновок, що всі застосування правила наступництва абсурдні за індукцією. Проте, Лаплас повністю усвідомлював абсурдність свого результату, одразу з після прикладу він писав: «Але це число [тобто ймовірність, що сонце зійде завтра] набагато більше для того, хто, бачачи в сукупності явищ принцип, що регулює дні і сезони, розуміє, що ніщо в даний момент не зможе стримати їхнього поступу.»[8]

Метод оцінки відношення кількості сприятливих випадків до загальної кількості випадків був раніше вказаний Лапласом в статті написаній в 1779 році. Він полягає в розгляді послідовних значень довільної функціїї, як коефіцієнтів в розкладі іншої функції, по відношенню до іншої змінної. Остання таким чином називається твірною функцією випадкової величини першої. Після чого Лаплас за допомогою інтерполяції показав, як можна визначити ці коефіцієнти з твірної. Потім, він штурмує обернену проблему і з коефіцієнтів знаходить твірну, на це впливає розв'язок скінченно різницевого рівняння.[7]