Формалізм Арновітта — Десера — Мізнера

Початковою точкою для формулювання ADM є лагранжіан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {^{(4)}g}},}$

що є добутком квадратного кореня з визначника чотиривимірного метричного тензора для повного простору-часу та його скаляра Річчі. Це Лагранжіан з дії Ейнштейна – Гільберта.

Бажаним результатом виведення є визначення вбудування тривимірних просторових зрізів у чотиривимірний простір-час. Метрика тривимірних зрізів

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

буде узагальненими координатами для гамільтонового формулювання. Потім можна обчислити спряжені імпульси як

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

використовуючи стандартні прийоми та визначення. Символи ${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$ — символи Крістофеля, пов'язані з метрикою повного чотиривимірного простору-часу. Інтетрвал

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

і вектор зсуву

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

- це інші елементи чотириметричного тензора.

Наступним кроком, після визначення величин для формулювання, є переписання лагранжіана з точки зору цих змінних. Новий вираз для лагранжіана

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

зручно записати через дві нові величини

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

відомі як обмеження Гамільтона та обмеження імпульсу відповідно. Інтервал і зсув з'являються в лагранжіані як множники Лагранжа .

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

Хоча змінні в лагранжіані представляють метричний тензор у тривимірних просторах, вбудованих у чотиривимірний простір-час, можливо і бажано використовувати звичайні процедури механіки Лагранжа для виведення «рівнянь руху», що описують еволюцію часу обох метрик ${\displaystyle g_{ij}}$ та його спряжений імпульс ${\displaystyle \pi ^{ij}}$. Результат

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

Беручи варіації щодо інтервалу і зсуву, забезпечують рівняння обмежень

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

є нелінійною системою рівнянь у часткових похідних.

${\displaystyle H=0}$

а самі інтервал і зсув можна задати вільно, відбиваючи той факт, що системи координат можна вибирати вільно як у просторі, так і в часі.

${\displaystyle P^{i}=0,}$

Використовуючи формулювання АДМ, можна спробувати побудувати квантову теорію гравітації так само, як побудовано рівняння Шредінгера, яке відповідає цьому гамільтоніану в квантовій механіці. Тобто замінити канонічні моменти ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$ та просторові метричні функції лінійними функціональними диференціальними операторами

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

Точніше, заміна класичних змінних операторами обмежена комутаційними відношеннями. Циркумфлекс у квантовій теорії позначає оператори. Це призводить до рівняння Вілера – Девітта.

Точних розв'язків рівнянь поля Ейнштейна відомо порівняно небагато. Пошуком інших розв'язків займається чисельна теорія відносності, в якій для відшукання наближених розв'язків рівнянь використовують суперкомп'ютери. Чисельну побудову таких розв'язків більшість дослідників починають з формулювання рівнянь Ейнштейна, тісно пов'язаних із формулюванням АДМ. Найпоширеніші підходи починаються з задачі початкового значення, заснованої на формалізмі АДМ.

У формулюваннях Гамільтона основним моментом є заміна набору рівнянь другого порядку набором рівнянь першого порядку. Цей другий набір рівнянь легко отримати за формулою Гамільтона. Це корисно для чисельної фізики, оскільки зниження порядку диференціальних рівнянь часто зручне, якщо планується комп'ютерне їх опрацювання.