Перетворення Ганкеля

Перетворення Ганкеля порядку ${\displaystyle \nu }$ функції ${\displaystyle f(r)}$ задається формулою

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

де ${\displaystyle J_{\nu }}$ — функція Бесселя першого роду порядку ${\displaystyle \nu }$ при ${\displaystyle \nu \geq -{\frac {1}{2}}}$ . Обернене перетворення Ганкеля ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ визначається формулою

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .}$

яку можна легко перевірити, використовуючи співвідношення ортогональності, описане нижче.

Перетворення Ганкеля може бути використано для перетворення та розв’язання рівняння Лапласа, записаного в цилiндричних координатах. Пiд дiєю перетворення Ганкеля, оператор Бесселя домножується на ${\displaystyle -q^{2}}$.[2] В осесиметричному випадку рівняння з частиними похiдними набуває вигляду

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-q^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

що є звичайним диференціальним рівнянням відносно перетвореної змінній ${\displaystyle U}$ .

Функції Бесселя утворюють ортогональний базис з ваговим коефіцієнтом ${\displaystyle r}$:[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}$

Якщо ${\displaystyle f(r)}$ і ${\displaystyle g(r)}$ є такими, що їх перетворення Ганкеля ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ і ${\displaystyle G_{\nu }(k)}$ є добре визначеним, то теорема Планшереля стверджує:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r\operatorname {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\operatorname {d} k.}$

Теорема Персеваля, яка стверджує

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r\operatorname {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k\operatorname {d} k,}$

є частинним випадком теореми Планшереля. Доведення цих теорем ґрунтується на властивостях ортогональностi.

Перетворення Ганкеля часто зустрiчається у фiзичних задачах iз цилiндричною або сферичною симетрiєю при записi багатовимiрного перетворення Фур’є в гіперсферичних координатах.

Розглянемо функцію ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle d}$-вимірного вектора r. Його ${\textstyle d}$-вимірне перетворення Фур'є визначається як

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Для того, щоб переписати його в гiперсферичних координатах, можна використати розклад плоскої хвилi на ${\textstyle d}$-вимірні гіперсферичні гармоніки ${\displaystyle Y_{l,m}}$: [4]

${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$

де ${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$ і ${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$ — набори всiх гiперсферичних кутiв у ${\displaystyle \mathbf {r} }$-просторі та ${\displaystyle \mathbf {k} }$-просторі. Це дає наступне спiввiдношення для ${\textstyle d}$-вимірного перетворення Фур’є в гiперсферичних координатах:

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$

Якщо розкласти ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ і ${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$ через гіперсферичні гармоніки:

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$

то перетворення Фур'є в гіперсферичних координатах спрощується до

${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$

Це означає, що функцiї з кутовою залежнiстю у виглядi гiперсферичної гармонiки зберiгають її при багатовимiрному перетвореннi Фур’є, тодi як радiальна частина змiнюється при перетвореннi Ганкеля (з точнiстю до деяких додаткових множникiв, таких як ${\textstyle r^{d/2-1}}$).

Перетворення Ганкеля є одним із членів циклу Фур’є-Ганкеля-Абеля інтегральних операторів. У розмірності два, якщо визначити A як оператор інтегрального перетворення Абеля, F як оператор перетворення Фур'є, а H як оператор перетворення Ганкеля нульового порядку, то частинний випадок теореми про проекційний зріз для циклічно-симетричних функцій стверджує, що

${\displaystyle FA=H.}$

Iншими словами, застосування перетворення Абеля до одновимiрної функцiї, а потiм застосування перетворення Фур’є до цього результату — це те саме, що застосування перетворення Ганкеля до цiєї функцiї. Цей пiдхiд можна розширити на вищi розмiрностi.

Простий та ефективний пiдхiд до чисельної оцiнки перетворення Ганкеля базується на спостереженнi, що воно може бути представлено у виглядi згортки за допомогою логарифмiчної замiни змiнних[8]

${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}e^{\kappa }.}$

У цих нових змінних перетворення Ганкеля набуває вигляду

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\mathrm {d} \rho ,}$де${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=(r_{0}e^{-\rho })^{1-n}f(r_{0}e^{-\rho }),\quad {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=(k_{0}e^{\kappa })^{1+n}F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),\quad {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho })^{1+n}J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$

Тепер інтеграл можна обчислити чисельно зі складністю ${\textstyle O(N\log N)}$ при використанні швидкого перетворення Фур'є. Алгоритм можна додатково спростити, використовуючи вiдомий аналiтичний вираз для перетворення Фур'є ${\textstyle {\tilde {J}}_{\nu }}$: [9]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$

Оптимальний вибір параметрів ${\textstyle r_{0},k_{0},n}$ залежить від властивостей функції ${\textstyle f(r)}$, зокрема, від її асимптотичної поведінки при ${\textstyle r\rightarrow 0}$ і ${\textstyle r\rightarrow \infty }$.

Цей алгоритм вiдомий як “квазiшвидке перетворення Ганкеля”, або просто “швидке перетворення Ганкеля”.

Оскiльки алгоритм базується на швидкому перетворенні Фур'є в логарифмiчних змiнних, функцiя ${\textstyle f(r)}$ має бути визначена на логарифмiчнiй сiтцi. Для функцiй, визначених на однорiднiй сiтцi, iснує ряд iнших алгоритмiв, включаючи безпосередню квадратуру, методи, що базуються на теоремі про проекційний зріз, та методи, що використовують асимптотичні розклади функцій Бесселя.[10]

[11]

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}$	Виражається через еліптичні інтеграли.[12]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

${\displaystyle K_{n}(z)}$ — це модифiкована функцiя Бесселя другого роду. ${\displaystyle K(z)}$ — повний елiптичний iнтеграл першого роду.

Вираз

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

співпадає з оператором Лапласа в полярних координатах ${\displaystyle (k,\theta )}$, який застосовано до сферично-симетричної функцiї ${\displaystyle F_{0}(k)}$ .

Перетворення Ганкеля для поліномів Церніке є по суті функціями Бесселя (Noll 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

для парної рiзницi n − m ≥ 0 .

• Перетворення Фур'є
• Інтегральне перетворення
• Інтегральне перетворення Абеля
• Ряд Фур’є-Бесселя
• Поліном Неймана
• Y та H перетворення

1. Louis de Branges (1968). Hilbert spaces of entire functions. London: Prentice-Hall. с. 189. ISBN 978-0133889000.
2. Poularikas, Alexander D. (1996). The transforms and applications handbook. Boca Raton Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC 32237017.
3. Ponce de Leon, J. (2015). Revisiting the orthogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval. European Journal of Physics 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh...36a5016P. doi:10.1088/0143-0807/36/1/015016.
4. Avery, James Emil, author. Hyperspherical harmonics and their physical applications. ISBN 978-981-322-930-3. OCLC 1013827621.
5. Faris, William G. (6 грудня 2008). Radial functions and the Fourier transform: Notes for Math 583A, Fall 2008. University of Arizona, Department of Mathematics. Процитовано 25 квітня 2015.
6. Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2015). У Zwillinger, Daniel. Table of Integrals, Series, and Products (вид. Eighth). Academic Press. с. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.
7. Secada, José D. (1999). Numerical evaluation of the Hankel transform. Comp. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. doi:10.1016/S0010-4655(98)00108-8.
8. Siegman, A. E. (1 липня 1977). Quasi fast Hankel transform. Optics Letters 1 (1): 13. Bibcode:1977OptL....1...13S. ISSN 0146-9592. PMID 19680315. doi:10.1364/ol.1.000013.
9. Talman, James D (October 1978). Numerical Fourier and Bessel transforms in logarithmic variables. Journal of Computational Physics 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29...35T. ISSN 0021-9991. doi:10.1016/0021-9991(78)90107-9.
10. Cree, M.J.; Bones, P.J. (July 1993). Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform. Computers & Mathematics with Applications 26 (1): 1–12. ISSN 0898-1221. doi:10.1016/0898-1221(93)90081-6.
11. Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics. Florida USA: Krieger Publishing Company. с. 140–175. ISBN 978-0898743586.
12. Kausel, E.; Irfan Baig, M. M. (2012). Laplace transform of products of Bessel functions: A visitation of earlier formulas. Quarterly of Applied Mathematics 70: 77–97. doi:10.1090/s0033-569x-2011-01239-2.