Рівняння Нав'є — Стокса

Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса, названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса, описують течію в'язкої рідини або газу. Ці рівняння виникають при застосуванні Другого закону Ньютона до руху рідини,

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=-\nabla p+\eta \Delta \mathbf {v} +\left(\zeta +{\frac {\eta }{3}}\right)\nabla {\text{div}}\,\mathbf {v} }$.

Механіка суцільних середовищ
Закони класичної механіки Закон збереження маси • Закон збереження імпульсу • Закон збереження енергії • Нерівність Клаузіуса
Механіка ДТТ Тверде тіло: Напруження • Деформація • Теорія малих деформацій • Теорія великих деформацій • Теорія пружності • Механіка контактної взаємодії • Опір матеріалів • Теорія пластичності • Механіка руйнування
Механіка рідин та газів Флюїд: Тиск • Гідростатика (закон Архімеда; закон Паскаля) • Гідродинаміка (закон Бернуллі) • В'язкість (ньютонівська рідина; неньютонівська рідина) Рідина: Поверхневий натяг • Капілярний ефект Газ: Рівняння стану ідеального газу (Закон Гей-Люссака; Закон Бойля — Маріотта; закон Шарля) • Реальний газ Плазма
Реологія В'язкоеластичність • Розумні рідини (Магнетореологічна рідина, Електрореологічна рідина, Феромагнітна рідина) • Реометрія
Основні рівняння Рівняння неперервності • Рівняння Ейлера • Рівняння Нав'є — Стокса • Рівняння дифузії • Закон Гука
Вчені Ньютон • Стокс • Нав'є • Коші • Гук, Бернуллі

Тут ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — поле швидкості рідини, ρ — густина, p — тиск, η — коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ — друга в'язкість, ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа.

У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\zeta {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right).}$

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Рівняння неперервності:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\,\rho \mathbf {v} =0.}$

Лінеаризовані рівняння Нав'є — Стокса називаються рівняннями Стокса і описують потік Стокса.