Рівняння мілкої води

Рівняння мілкої води виводяться з рівнянь збереження маси та імпульсу (рівняння Нав'є-Стокса), які справедливі для загального випадку, в тому числі в ситуаціях, коли умови мілкої води не виконуються. Без врахування сил Коріоліса, тертя и в'язкості рівняння мають вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{aligned}}}$

Рівняння можуть бути записані для швидкостей. Оскільки швидкості не входять у фундаментальні закони збереження, ці рівняння не описують явища типу гідравлічного удару чи гідравлічного стрибка.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt}}+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-bv,\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr )},\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle u}$	— швидкість вздовж осі x;
${\displaystyle v}$	— скорость вдоль осі y;
${\displaystyle H}$	— середня висота поверхні рідини;
${\displaystyle \eta }$	— відхилення тиску в горизонтальній площині від середнього значення;
${\displaystyle g}$	— прискорення вільного падіння;
${\displaystyle f}$	— Параметр Коріоліса, що дорівнює на Землі ${\displaystyle 2\Omega \sin \varphi$ ;}
${\displaystyle \Omega }$	— кутова швидкість обертання Землі навколо осі (${\displaystyle \pi /12}$ радіан/година);
${\displaystyle \varphi }$	— географічна широта;
${\displaystyle b}$	— коефіцієнт в'язкого опору.