Абстрактний симпліціальний комплекс

В математиці, абстрактним симпліціальним комплексом називається комбінаторний об'єкт, що є абстрактним узагальненням геометричного поняття симпліціальний комплекс.

Геометричне представлення абстрактного симпліціального комплексу, що не є симпліціальним комплексом.

Абстрактний симплекс можна досліджувати алгебричними методами за допомогою кілець Стенлі — Райснера, що визначає важливі зв'язки між комбінаторикою і комутативною алгеброю.

Означення

Сім'я Δ непустих скінченних підмножин множини S називається абстрактним симпліціальним комплексом якщо для кожної множини X у Δ, і кожної непустої підмножини YX, Y також належить Δ.

Скінченні множини, що належать Δ називаються (абстрактними) симплексами комплекса. Симплекс Y називається гранню симплекса X якщо YX. Множиною вершин Δ називається множина V(Δ) = ∪Δ, що є об'єднанням усіх симплексів Δ. Елементи множини вершин називаються вершинами комплексу. Для кожної вершини v у Δ, множина {v} є симплексом комплексу, і кожен симплекс комплексу є скінченною підмножиною множини вершин.

Симплекси, що не є гранями інших симплексів називаються максимальними симплексами комплексу. Розмірність симплекса X у Δ за означенням є рівною dim(X) = |X| − 1: симплекси, що мають один елемент мають розмірність 0, симплекси з двох елементів мають розмірність 1 і т. д. Розмірністю комплексу dim(Δ) називається найбільша розмірність його симплексів або нескінченність, якщо існують симплекси як завгодно великих розмірностей.

Комплекс Δ називається скінченним якщо у ньому є скінченна кількість симплексів або еквівалентно, якщо його множина вершин є скінченною. Комплекс Δ називається локально скінченним, якщо кожна його вершина належить лише скінченній кількості симплексів.

Одновимірні абстрактні симпліціальні комплекси є математично еквівалентними простим неорієнтованим графам: множина вершин комплексу може розглядатися як множина вершин графу, а множина одновимірних (тобто двоелементних) симплексів як множина його ребер.

Підкомплексом комплексу Δ називається абстрактний симпліціальний комплекс L такий що кожен симплекс L належить також Δ, тобто L ⊂ Δ.

d-кістяк комплексу Δ це підкомплекс Δ, що складається з усіх симплексів Δ розмірність яких не перевищує d. 0-кістяк Δ можна ідентифікувати з його множиною вершин, хоча формально вони не є еквівалентними (множина вершин є єдиною множиною всіх вершин, тоді як 0-кістяк є сім'єю одноелементних множин).

Лінком симплекса Y у Δ (позначається Δ/Y або lkΔ(Y)) називається підкомплекс Δ заданий як

Лінком пустої множини є комплекс Δ.

Для будь-якого абстрактного симпліціального комплексу Δ існує комплекс Bd Δ, вершинами якого є симплекси комплексу Δ, а симплексами сім'ї симплексів з Δ, для яких . Комплекс Bd Δ називається барицентричним розбиттям комплексу Δ.

Для двох абстрактних симпліціальних комплексів, Δ і Γ, симпліціальним відображенням називається відображення  f для якого образами вершин Δ є вершини Γ і для кожного симплекса X у Δ, образом множини  f(X) є симплекс у Γ. Існує категорія SCpx об'єктами якої є абстрактні симпліціальні комплекс, а морфізмами симпліціальні відображення. Вона є еквівалентною до деякої категорії визначеної для неабстрактних симпліціальних комплексів.

Геометричне представлення

Кожному абстрактному симпліціальному комплексу K можна поставити у відповідність топологічний простір |K|, що називається його геометричним представленням. Два таких представлення є ізоморфними. Топологічний простір X, що є гомеоморфним геометричному представленню |K| деякого комплексу K називається поліедром, а пара (К, f), де f — гомеоморфізм, називається триангуляцією простору.

Геометричне представлення комплексу K із множиною вершин S можна побудувати у такий спосіб. Нехай |K| підмножина [0, 1]S, що складається з усіх функцій t : S → [0, 1] які задовольняють дві умови:

Число називається s барицентричною координатою точки t. Розглянемо [0, 1]S як індуктивну границю [0, 1]A де A пробігає всі скінченні підмножини S і надамо [0, 1]S відповідну фінальну топологію, а |K| — породжену топологію. Отриманий топологічний простір буде геометричною реалізацією комплексу |K|.

На просторі |K| можна ввести альтернативну в загальному випадку сильнішу топологію породженою метрикою . Множина |K| з цією топологією позначається |K|d.

Можна задати геометричне представлення і в інших спосіб. Нехай категорія об'єктами якої є симплекси K, а морфізмами включення. Задамо тотальне впорядкування на множині вершин K і введемо функтор F з у категорію топологічних просторів. Для цього для кожного симплекса XK розмірності n, нехай F(X) = Δn буде стандартним n-симплексом. Порядок на множині вершин визначає бієкцію між елементами X і вершинами Δn, впорядкованими у звичний спосіб e0 < e1 < ... < en. Якщо YX є симплексом розмірності m < n, то бієкція визначає m-вимірну грань у Δn. Нехай F(Y) → F(X) є єдиним афінним вкладенням Δn у визначену вище грань симплекса Δn при якому зберігається порядок вершин.

Тоді можна ввести геометричне представлення |K| як категорну кограницю функтора F. А саме |K| є фактор-простором диз'юнктного об'єднання

по відношенню еквівалентності, що ідентифікує точку yF(Y) з її образом при відображенні F(Y) → F(X), для кожного вкладення YX.

Багато комбінаторних властивостей абстрактного симпліціального комплексу можна виразити через топологічні властивості геометричного представлення комплексу. Зокрема еквівалентними є такі твердження:

Простір |K| є сепарабельним (компактним) тоді і тільки тоді, коли K є не більш ніж зліченним (скінченним).

Представлення скінченних комплексів в евклідових просторах

Особливо важливе значення має геометричне представлення для скінченних комплексів. У цьому випадку можливе представлення абстрактного симпліціального комплексу у виді звичайного симпліціального комплексу у евклідовому просторі. А саме, n-вимірний комплекс Δ має представлення як симпліціальний комплекс у просторі .

Представлення можна задати у такий спосіб. Нехай множина вершин Δ має m елементів. Позначимо ці вершини . Виберемо m+1 точку у так щоб жодні 2n+2 з них не були лінійно залежними. Наприклад, можна вибрати точки виду Рівняння разом з

утворюють матрицю Вандермонда визначник якої не є рівним нулю. Отже, рівняння має лише нульовий розв'язок і довільні 2n+2 точки є лінійно незалежними.

Нехай тепер точки в відповідають точкам абстрактного комплексу. Відповідно кожному абстрактному симплексу у Δ відповідає симплекс у .

Множина таких симплексів у утворює симпліціальний комплекс K, який і є геометричним представленням Δ. З означення Δ відразу випливає, що будь-яка грань симплекса із K є симплексом у K. Із лінійної незалежності точок випливає що симплекси у K можуть перетинатися лише на своїх границях. Нехай тепер — два симплекси у K, що мають розмірності p і q відповідно і r спільних вершин. Тоді загальна кількість точок у якомусь із цих симплексів є рівною .

Отже всі точки є лінійно незалежними і на них можна побудувати симплекс розмірності для якого будуть гранями. Тому їх перетин є або гранню їх обох або порожньою множиною. Отож K дійсно є стандартним симпліціальним комплексом у .

Будь-які два геометричні представлення абстрактного симпліціального комплекса є симпліціально гомеоморфними.

Простір має найменшу розмірність для геометричного представлення усіх абстрактних симпліціальних комплексів розмірності n. Для простору завжди існує абстрактний симпліціальний комплекс розмірності n для якого не існує геометричного представлення у . Наприклад, для n = 1 абстрактний комплекс із п'ятьма вершинами для якого кожна для якого кожна підмножина із двох вершин є симплексом не має геометричного представлення у . Це відбувається тому, що такий же комплекс із чотирма вершинами можна представити лише у виді коли три точки утворюють трикутник, а четверта у його середині (не на сторонах). Тоді п'ята точка мала би бути у середині трьох утворених менших трикутників, що неможливо. Більш загально для довільного n-кістяка абстрактного симплекса розмірності 2n + 2 (симплекса із 2n + 3 вершинами) не існує геоментричного представлення у просторі [1].

В загальному випадку абстрактний симпліціальний комплекс має геометричне представлення у скінченновимірному просторі тоді і лише тоді коли він є локально скінченним, не більш ніж зліченним і скінченновимірним.

Кількості абстрактних симпліціальних комплексів

Кількість скінченних абстрактних симпліціальних комплексів із множиною вершин не більше n елементів є на одиницю меншим ніж n-не число Дедекінка. Ці числа зростають дуже швидко і наразі їх значення відомі лише для n ≤ 8; вони є рівними (починаючи з n = 0):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 послідовність A014466 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Ці кількості рівні кількостям непустих антиланцюгів для множин із n елементів.

Кількість абстрактним симпліціальних комплексів із множиною вершин к n елементів є рівною "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966" послідовність A006126 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, починаючи з n = 1.

Див. також

Примітки

  1. Edelsbrunner. Geometry and topology for mesh generation. ст. 49

Література

  • Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
  • Edelsbrunner, Herbert (2001). Geometry and topology for mesh generation. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics 6 (вид. 1). Cambridge University Press. ISBN 9780521793094.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.