Комплексифікація

Нехай ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Комплексифікацією простору ${\displaystyle V}$ називається пряма сума

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\oplus V=V\times V.}$

На ній операція додавання визначена покомпонентно

${\displaystyle (x,\,y)+(x',\,y')=(x+x',\,y+y')}$

і множення на скаляр ${\displaystyle \alpha +\beta i\in \mathbb {C} }$ визначено як

${\displaystyle (\alpha +\beta i)(x,\,y)=\left(\alpha x-\beta y,\,\beta x+\alpha y\right)}$.

Множина ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ разом із вказаними операціями є векторним простором над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Елемент ${\displaystyle (x,y)\in V_{\mathbb {C} }}$ як правило записують у виді ${\displaystyle x+yi}$.

Комплексифікацією дійсного векторного простору ${\displaystyle V}$ називається тензорний добуток:

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Множення на скаляр ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ визначено так: для елемента ${\displaystyle x\otimes b\in V_{\mathbb {C} }}$ де ${\displaystyle x\in V}$ і ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle a(x\otimes b)=x\otimes (ab)}$.

Комплексифікацією ${\displaystyle \mathbb {R} }$-лінійного відображення ${\displaystyle f\colon V\rightarrow W}$ називається ${\displaystyle \mathbb {C} }$-лінійне відображення ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$ що за означенням рівне

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(x+yi)=f(x)+f(y)i.}$

В тензорному записі комплексифікації просторів означення можна записати як

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

Для комплексифікації ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$ справедливими є рівності:

• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }({\overline {z}})={\overline {f_{\mathbb {C} }(z)}}}$ для всіх ${\displaystyle z\in V_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (\operatorname {Id} _{V})_{\mathbb {C} }=\operatorname {Id} _{(V_{\mathbb {C} })}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)_{\mathbb {C} }=f_{\mathbb {C} }\circ g_{\mathbb {C} }}$
• Матриця лінійного відображення ${\displaystyle f}$ в базисі ${\displaystyle (x_{j})}$ є також матрицею відображення ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ у базисі ${\displaystyle (x_{j}+0i)}$.

Відповідно якщо ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$ є ендоморфізмом то:

• ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ мають однаковий характеристичний поліном.
• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ має ті ж власні значення, слід, визначник, що і f.

Комплексифікацією білінійної форми ${\displaystyle \Phi \colon V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$ називається півторалінійна форма ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\times V_{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} }$, яка визначена як

${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }(x+yi,x'+y'i)=\Phi (x,x')+\Phi (y,y')+i(\Phi (y,x')-\Phi (x,y')).}$

Обмеження форми ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ на підмножину ${\displaystyle V\times V}$ рівне ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} |V\times V}=\Phi }$.

• Якщо форма ${\displaystyle \Phi }$ є дійсним скалярним добутком то ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ є комплексним скалярним добутком.

• Якщо ${\displaystyle V}$ є евклідовим простором із скалярним добутком ${\displaystyle \Phi }$ і ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ унітарним простором із добутком ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ то ${\displaystyle (f^{*})_{\mathbb {C} }=(f_{\mathbb {C} })^{*}}$, де * позначає транспонування матриці у дійсному випадку і ермітове спряження у комплексному. Матриця перетворенння ${\displaystyle f\colon V\rightarrow V}$ і її комплексифікація ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$ одночасно задовольняють чи не задовольняють такі умови:
  • нормальність${\displaystyle (ff^{*}=f^{*}f)}$
  • самоспряженість ${\displaystyle (f=f^{*})}$
  • косоермітовість${\displaystyle (f=-f^{*})}$
  • унітарність ${\displaystyle (ff^{*}=\operatorname {Id} )}$

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Лі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Комплексифікацією ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$, що аналогічно до випадку векторних просторів рівна

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Елементи алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ можна ідентифікувати як пари ${\displaystyle (u,v)}$ де ${\displaystyle u,v\in {\mathfrak {g}}}$. В такому записі операції на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ визначені як

${\displaystyle {\begin{aligned}&(u_{1},v_{1})+(u_{2},v_{2}):=(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2})\\&(\alpha +i\beta )(u_{1},v_{1}):=(\alpha u_{1}-\beta v_{1},\alpha v_{1}+\beta u_{1})\quad \\&\left[(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})\right]:=(\left[u_{1},u_{2}\right]-\left[v_{1},v_{2}\right],\left[v_{1},u_{2}\right]+\left[u_{1},v_{2}\right]),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in {\mathfrak {g}}}$.

• Комплексифікацією алгебри Лі ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$ є ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$.