П'ятикутник

Площа довільного правильного многокутника дорівнює:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pa}$

де P — периметр многокутника, a — апофема. Підставляючи відповідні значення параметрів P та a, отримуємо формулу:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t}{1}}\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}}$

з ${\displaystyle t}$ відома довжина бічної сторони. Можна записати формулу в вигляді:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}$

Довжину діагоналі правильного многокутника (далі по тексту D) можна обчислити через бічну сторону, за допомогою золотого перетину ${\displaystyle \phi }$. Оскільки,

${\displaystyle {\frac {D}{T}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Відповідно:

${\displaystyle D=T\times \varphi \ .}$

Як і в будь-який опуклий багатокутник у правильний опуклий п'ятикутник можна вписати коло. Апофема, що є радіусом r кола вписаного в правильний п'ятикутник співвідноситься із довжиною сторони t:

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Правильний п'ятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, оскільки число 5 є числом Ферма. Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.

Побудова правильного п'ятикутника методом Річмонда[1]

Одним із методів побудови правильного п'ятикутника в середині заданого кола є метод, описаний Річмондом[2].

Перше зображення показує побудову, яка використовується в методі Річмонда для побудови сторони вписаного п'ятикутника. Коло, яким задають п'ятикутник має одиничний радіус. Його центр знаходиться в точці C, а середня точка M відмічена по середині його радіуса. Цю точку з'єднали із точкою на колі, що знаходиться вертикально над центром в точці D. Кут CMD поділено бісектрисою навпіл, і ця бісектриса перетинає вертикальну вісь в точці Q. Горизонтальна лінія, проведена через точку Q перетинає коло в точці P, а хорда PD є стороною вписаного п'ятикутника.

Визначимо довжину цієї побудованої сторони. Два правильні трикутники DCM і QCM показані внизу під колом. Використовуючи теорему Піфагора і дві сторони, гіпотенузу більшого трикутника можна знайти наступним чином ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$. Сторону h меншого трикутника тоді можна знайти за допомогою формули половинного кута:

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

де косинус і синус кута ϕ відомі із більшого трикутника. В результаті отримаємо:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Знаючи довжину сторони, тепер перейдемо до нижньої діаграми для того, щоб знайти сторону s правильного п'ятикутника. Спершу, сторону a трикутника праворуч можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

${\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\$ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}

Потім знайдемо s за допомогою теореми Піфагора і трикутника, що ліворуч:

${\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }$

${\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}$

Таким чином сторона s буде дорівнювати:

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}$

Таким чином, побудова п'ятикутника є правильною.[3]

Метод із використанням Карлайлових кіл

Карлайлове коло було винайдено як метод знаходження коренів квадратного рівняння.[4] Ця методологія привезла до появи методу побудови правильного п'ятикутника. Його кроки є наступними:[5]

1. Намалюємо коло в яке ми впишемо п'ятикутник і помітимо його центральну точку як O.
2. Намалюємо горизонтальну лінію через центр кола. Ліву точку перетину із колом відмітимо як B.
3. Побудуємо вертикальну лінію через центр кола. Відмітимо точку перетину із колом літерою A.
4. Побудуємо точку M як середню точку між O і B.
5. Побудуємо коло із центром в точці M через точку A. Відмітимо його перетин із горизонтальною лінією (в середині початкового кола) літерою W, а точку перетину за межами кола позначимо як V.
6. Намалюємо коло із радіусом OA і з центром в точці W. Воно перетинає початкове коло у двох вершинах п'ятикутника.
7. Намалюємо коло із радіусом OA і з центром в точці V. Воно також перетинає початкове коло у двох вершинах п'ятикутника.
8. П'ята вершина це сама права точка перетину горизонтальної лінії із початковим колом.

Кроки 6–8 є аналогічними наступній версії, показаній в анімації:

6a. Побудуємо точку F, що є середньою точкою між O і W.

7a. Побудуємо вертикальну лінію через F. Вона перетинає початкове коло в двох вершинах п'ятикутника. Третьою вершиною буде самий правий перетин горизонтальної лінії із початковим колом.

8a. Побудуємо дві інші вершини використовуючи циркуль і довжину сторони, знайдену на кроці 7a.

П'ятикутник із смужки паперу

• Правильний п'ятикутник можна скласти із паперової смуги склавши її у простий вузол і обережно розтягуючи його за кінці, так щоб утворити пласку фігуру. Якщо скласти назад кінці над п'ятикутником, то при просвічуванні або розгладжуванні рельєфу із утворених ліній проявиться пентаграма.

Відповідно до закону золотого перетину, і застосовуючи ділення відрізку за допомогою зовнішнього поділу п'ятикутник можна побудувати за допомогою наступних кроків:

П'ятикутник із заданою довжиною сторони

1. Намалюємо відрізок AB довжина якого дорівнює довжині п'ятикутника.
2. Продовжимо відрізок BA від точки A приблизно на три чверті довжини відрізка BA.
3. Намалюємо дугу кола, із центром в точці B, із радіусом AB.
4. Намалюємо дугу кола із центром в точці A, із радіусом AB; вони утворять перетин в точці F.
5. Побудуємо перпендикуляр до відрізку AB через точку F; він утворить перетин в точці G.
6. Намалюємо пряму паралельну відрізку FG від точки A до дуги окружності біля точки A; утвориться перетин позначений як H.
7. Намалюємо дугу кола із центром у точці G із радіусом GH до перетину із продовженням відрізку AB; буде утворена точка перетину J.
8. Намалюємо дугу кола із центром в точці B та радіусом BJ до перетину із перпендикуляром, що проходить через точку G; буде утворена точка перетину D із перпендикуляром, і точка перетину E із дугою кола, яке було утворене довкола точки A.
9. Намалюємо дугу кола із центром в точці D, із радіусом BA доки ця дуга не перетне іншу дугу кола, що була проведена із центром в точці B; утвориться точка перетину C.
10. З'єднаємо точки BCDEA. В результати отримана фігура є п'ятикутником.

${\displaystyle {\frac {\overline {BJ}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AJ}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618}$

Альтернативний метод:

Побудова п'ятикутника

Анімація

Симетрії правильного п'ятикутника. Вершини розфарбовані відповідно до їх позицій симетрії. Сині лінії відзеркалення проведені через вершини та ребра. Порядок обертової симетрії вказаний в центрі.

Правильний п'ятикутник має Dih₅ симетрію, порядку 10. Оскільки 5 є простим числом існує одна підгрупа із діедральною симетрією: Dih₁, і 2 симетрії циклічної групи: Z₅, і Z₁.

Ці 4 типи симетрії у п'ятикутнику можна побачити у вигляді 4 різних симетрій. Джон Конвей позначав їх за допомогою літери і порядку групи.[6] Повна симетрія правильної форми — r10 і не існує симетрії із підписом a1. Діедральні симетрії поділяються в залежності від того, чи вони проходять через вершини (d для діагоналі) або ребра (p для перпендикулярів), і i коли лінії відбиття проходять через вершини і ребра одночасно. Обертові симетрії позначені літерою g відповідно до їх порядку центрального обертання.

Кожна підгрупа симетрії дозволяє мати один або декілька степенів свобод для неправильних форм. Лише підгрупа g5 не має степенів свободи, її можна розглядати як орієнтований граф.

• 
  П'ятикутний переріз окри.
• 
  Квітка кручених паничів, як і багато інших квітів, має п'ятикутну форму.
• 
  Маточка яблука містить п'ять плодолистків, що утворюють п'ятикутну зірку
• 
  Карамболя ще один приклад п'ятірчастої симетрії.

• 
  Морська зірка. Багато голкошкірих мають п'ятірчасту радіальну симетрію.
• 
  Ілюстрація змієхвістки, також голкошкірого організму з п'ятикутною формою.

• 
  Пентагон, штаб-квартира Міністерства оборони США.
• 
  Плита для позначення бази на бейзбольному полі.