Обернений гамма розподіл

Для ${\displaystyle \alpha >0}$ і ${\displaystyle \beta >0}$,

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

і

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

Інформаційна ентропія обислюється наступним чином

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \psi (\alpha )}$ — дигамма функція.

Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α _p, β _p ) від оберненої-гамми ( α _q, β _q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α _p, β _p ) від гамма ( α _q, β _q ):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

де ${\displaystyle \rho ,\pi }$ є щільностями обернених гамма-розподілів та ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ є щільностями гамма-розподілів, ${\displaystyle Y}$ має Гамма( α _p, β _p ) розподіл.

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

• Якщо ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ тоді ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ тоді ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$ (обернений хі-квадрат розподіл)
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ тоді ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$ (масштабований обернений хі-квадрат <a href="./Обернений розподіл хі-квадрат" rel="mw:WikiLink" data-linkid="164" data-cx="{&amp;quot;adapted&amp;quot;:false,&amp;quot;sourceTitle&amp;quot;:{&amp;quot;title&amp;quot;:&amp;quot;Inverse-chi-squared distribution&amp;quot;,&amp;quot;thumbnail&amp;quot;:{&amp;quot;source&amp;quot;:&amp;quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/5a/Inverse_chi_squared_density.png/62px-Inverse_chi_squared_density.png&amp;quot;,&amp;quot;width&amp;quot;:62,&amp;quot;height&amp;quot;:80},&amp;quot;description&amp;quot;:&amp;quot;Probability distribution&amp;quot;,&amp;quot;pageprops&amp;quot;:{&amp;quot;wikibase_item&amp;quot;:&amp;quot;Q3258519&amp;quot;},&amp;quot;pagelanguage&amp;quot;:&amp;quot;en&amp;quot;},&amp;quot;targetFrom&amp;quot;:&amp;quot;mt&amp;quot;}" class="cx-link" id="mwhQ" title="Обернений розподіл хі-квадрат">розподіл</a>)
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ тоді ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$ (розподіл Леві)
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ тоді ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$ (експоненційний розподіл)
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ ( Гамма-розподіл з параметром темпу ${\displaystyle \beta }$) тоді ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ (Деталі див. виведення в наступному абзаці)
• Зверніть увагу, що якщо ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ (Гамма-розподіл з параметром масштабу ${\displaystyle \theta }$) тоді ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )}$
• Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу
• Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта.
• Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001)

Нехай ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$, і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, ${\displaystyle x>0}$ .

Враховуючи, що ${\displaystyle \beta }$ – параметр темпу змін в гамма-розподілі.

Визначимо перетворення ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ . Далі щільність ${\displaystyle Y}$ записується

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Зауважте, що ${\displaystyle \beta }$ – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.

• Розподіл часу відліку вінерівського процесу [3]

• Гамма-розподіл
• Обернений розподіл хі-квадрат
• Нормальний розподіл

• Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.