Поліноми Ґеґенбауера

Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми поліноми, ортогональні на відрізку [1,1] з вагою і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми

Ортогональні поліноми
Ґеґенбауера
Відкриті Леопольд Ґеґенбауер
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки

де  гамма-функція, позначає цілу частину числа , а  символ Похгаммера.

Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження , хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного .

Згідно наведено вище означення і часто у випадку функцію перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»).

Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера[1] (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики у Чернівецькому універститеті, на той час — Університеті Франца-Йосифа (нім. Franz-Josephs-Universität).

Приклади

Графіки поліномів Ґеґенбауера при

Перші шість поліномів Ґеґенбауера:[2]

Значення в деяких точках

Мають місце такі співвідношення:

  • при
,      
  • при
  • при

Властивості

  • Функція є поліномом степеня відносно та і визначена для довільних .
  • Як і всі ортогональні поліноми функція , , має тільки прості нулі, які всі лежать на відрізку . Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів та чергуються.

Позначимо через нулі многочлена розташовані у порядку спадання:

Нулі розташовані симетрично . Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення

Тоді мають місце оцінки:[3]

  • Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :

Зв'язок з іншими функціями

  • Поліноми Лежандра є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при :

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:

де  символ Кронекера, або через похідну від полінома Лежандра:

  • Поліноми Чебишева першого роду є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при :

Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса , тобто .

  • Поліноми Чебишева другого роду є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:

де  — символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:

  • Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів :

Це співвідношення дозволяє розширити означення функції на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу . Так означена функція називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального збігається з поліномом Ґеґенбауера.

  • Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі при :

де  — символ Похгаммера.

Твірна функція та формула Родріга

Твірна функція поліномів Ґеґенбауера [5]:

Вони можуть бути виражені за допомогою формули Родріга

Рекурентні співвідношення

Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу , яке можна застосовувати для знаходження поліномів при :

Рекурентне співвідношення по індексу :

Інші формули:

Диференціальні властивості

Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом

або у загальному випадку

Похідна від добутку на вагову функцію

Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:[6]

Диференціальне рівняння

Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння, яке називають рівнянням Ґеґенбауера [7]

Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді

де  приєднана функція Лежандра другого роду,  — довільні сталі.

Ортогональність

Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови , .

Для заданого поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [1,1] с вагою , тобто (при )[8],

причому виконується умова нормування [8]

Як наслідок, функції

утворюють ортонормований базис у просторі . Довільна функція може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій :

Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега :[9]

за формулами:

Приклади розвинень

де  функція знаку.

Двовимірні розвинення:

де  функція Бесселя першого роду.

Представлення через суми та ряди

Поліноми Ґеґенбауера можна записати у вигляді суми по степенях або за відповідними формулами:

де  числа Стірлінга першого роду.

Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки буде скінчення сума:

Інтегральне представлення

Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:

через інтеграл по дійсній змінній:

через контурний інтеграл:

де  — довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.

Ряд інших інтегральних тотожностей:

Асимптотична поведінка

Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра та змінної :[6]

Нерівності та оцінки

Справедливі такі оцінки:[10]

При справедлива наступна нерівність:

Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута

Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута може бути представлений у вигляді суми[11]

або через інтеграл від дійсного параметра:

Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.

При повороті точки заданої в сферичній системі координатами на кут нутації новий кут визначається рівністю

Справедлива формула додавання:

або

після заміни .

Випадок комплексного аргументу

Симетрія відносно операції комплексного спряження:

Якщо , де і  — дійсні змінні ( також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:

Застосування

Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі. А саме, ньютонівський потенціал в допускає такий розклад:

Зокрема, при ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.

Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).

Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини -вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:

де  — кутові координати в -вимірній сферичній системі координат,

Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню:

де  — одиниці ,  радіус Бора атома водню,  сферичні гармоніки.

Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи [12].

Література

  • Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7.
  • Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. — 2-е изд., исправ. — М. : Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
  • Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. Chapter 22
  • Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

Примітки

  1. J.J. O'Connor and E.F. Robertson. Leopold Bernhard Gegenbauer (HTML). School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. Архів оригіналу за 24 листопада 2012. Процитовано 06.09.2012.
  2. Виленкин, 1991, с. 439.
  3. Бейтмен, 1974, с. 203.
  4. Gegenbauer Function, functions.wolfram.com}}
  5. Виленкин, 1991, с. 468.
  6. Gegenbauer Function
  7. Виленкин, 1991, с. 438.
  8. Виленкин, 1991, с. 441.
  9. Бейтмен, 1974, с. 209-212.
  10. Бейтмен, 1974, с. 206.
  11. Бейтмен, 1974, с. 177.
  12. Виленкин, 1991, с. 415.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.