Розв'язання рівнянь

У математиці розв'язати рівняння означає знайти такі його розв'язки, які являють собою значення (числа, функції, множини й т. д.), що задовольняють умові заданого рівняння, воно, як правило, є двома виразами зі знаком рівності між ними. При пошуку розв'язку одна або кілька вільних змінних позначаються як невідомі. Процесом розв'язання рівняння буде знаходження таких виразів для невідомих змінних, що задовольнятимуть даному рівнянню так, що задана ними рівність буде виконуватися. Іншими словами, розв'язком є вираз або сукупність виразів (по одному для кожного невідомого), така, що за умови заміни невідомих рівняння перетворюється на рівність. Розв'язок рівняння часто називають коренем рівняння, особливо, але не лише для алгебричних рівнянь.

Приклад використання метода Ньютона-Рафсона для розв'язування рівняння

f(x)=0

, що еквівалентно знаходженню кореня функції

f

(де

f

— зображена на графіку функція). Метод Ньютона-Рафсона є процедурою, що дозволяє знайти числовий розв'язок.

Квадратична формула — символьний розв'язок для квадратного рівняння. Задавши відомі значення коефіцієнтів, можна отримати числовий розв'язок для квадратичної формули, що відповідає цим коефіцієнтам.

Розв'язок рівняння може бути числовим або символьним. Числовий розв'язок подається лише у вигляді чисел (а не як вираз за участю змінних). Рівняння матиме символьний розв'язок, якщо за розв'язок приймаються вирази, які можуть містити відомі змінні або, можливо, також змінні, які не були присутні в початковому рівнянні.

Наприклад, рівняння $x + y = 2 x - 1$ розв'язується відносно невідомої $x$ , його розв'язком є $x = y + 1$ , оскільки підставивши $y + 1$ замість $x$ в рівняння отримаємо в результаті $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , правильне твердження. Крім того, можна прийняти за невідому змінну $y$ , тоді рівняння матиме розв'язок $y = x - 1$ або $x$ і $y$ обидва можуть розглядатися як невідомі, тоді рівняння матиме багато розв'язків: $(x, y) = (a + 1, a)$ є символьним (параметризованим) розв'язком. Якщо підставити в цей символьний розв'язок конкретні значення чисел, завжди можна отримати числовий розв'язок; наприклад, $a = 0$ дає $(x, y) = (1, 0)$ (тобто, $x = 1$ і $y = 0$ ) та $a = 1$ дає $(x, y) = (2, 1)$ .

Різниця між відомими та невідомими змінними зазвичай проводиться в формулюванні завдання за допомогою таких фраз, як «рівняння в $x$ і $y$ » або «вирішити для $x$ і $y$ », які вказують на невідомі, тут $x$ і $y$ . Однак зазвичай заведено використовувати $x$ , $y$ , $z$ , … для позначення невідомих, відповідно $a$ , $b$ , $c$ , … для позначення відомих змінних, які часто називають параметрами. Так роблять при розгляді поліноміальних рівнянь, наприклад, квадратних рівнянь. Однак, для деяких завдань всі змінні можуть грати будь-яку роль.

Залежно від завдання може вимагатися знайти один (будь-який придатний розв'язок) або декілька (всі) розв'язки рівняння. Множина всіх розв'язків називається множиною розв'язків. Крім простого знаходження розв'язку, може ставитися завдання по знаходженню найкращого розв'язку рівняння за якимсь параметром. Задачі такого роду називають задачами оптимізації. Розв'язування задач оптимізації, як правило, не називають «розв'язуванням рівняння».

Огляд

У загальному випадку ми маємо таку ситуацію:

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

де $x 1, ..., x n$ — невідомі, і $c$ — константа. Розв'язки цієї ситуації є елементами оберненого відображення.

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

де $D$ є областю визначення функції $f$ . Зверніть увагу на те, що множина розв'язків може бути порожньою множиною (коли немає розв'язків), сінґлетоном (тобто, рівно однин розв'язок), скінченною або нескінченною (існує декілька або ж безліч розв'язків).

Наприклад рівняння, такі як:

3x+2y=21z,

з невідомими $x, y$ і $z$ , можна розв'язати, спершу, за допомогою перетворення рівняння будь-яким чином, зберігаючи при цьому його рівнозначність, наприклад, якщо відняти $21 z$ з обох частин рівняння, отримаємо:

3x+2y-21z=0

У даному конкретному випадку розв'язок цього рівняння не буде єдиним, а саме, існує нескінченна множина розв'язків, які можна записати так:

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

Одним частковим розв'язком рівняння є $x = 0, y = 0, z = 0$ . Двома іншими розв'язками — $x = 3, y = 6, z = 1$ і $x = 8, y = 9, z = 2$ . Множина розв'язків цього рівняння — це площина в тривимірному просторі, що проходить через три точки з наведеними координатами.

Множина розв'язків

Множина розв'язків рівняння

x 2 4 + y 2 = 1

утворює еліпс, якщо інтерпретувати його як множину пар декартових координат.

Множина розв'язків даної множини рівнянь або нерівностей — це сукупність усіх її розв'язків, кожен з яких є кортежем значень, по одному для кожного невідомого, що задовольняє всі рівняння або нерівності. Якщо множина розв'язків порожня, то немає значень невідомих, які задовольняють одночасно всі рівняння та нерівності.

Для простого прикладу розглянемо рівняння

x^{2}=2.

Це рівняння можна розглядати як діофантове рівняння, тобто рівняння, для якого шукаються лише цілочисельні розв'язки. У цьому випадку множиною розв'язків є порожня множина, оскільки 2 не є квадратом цілого числа. Однак, якщо шукати дійсні розв'язки, є два розв'язки, ${\sqrt {2}}$ та $-{\sqrt {2}}$ . Іншими словами, множина розв'язків — $\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\}$ .

Коли рівняння містить декілька невідомих змінних або коли є декілька рівнянь, але кількість невідомих, більша за кількість рівнянь, тоді множина розв'язків часто є нескінченною. У цьому випадку неможливо перерахувати розв'язки. Для запису розв'язків часто зручно використовувати параметризацію, яка полягає у вираженні розв'язків через деякі невідомі або допоміжні змінні. Це завжди можливо, коли всі рівняння є лінійними.

Такі нескінченні множини розв'язків можна природно інтерпретувати як геометричні фігури, такі як прямі, криві (див. малюнок), площини та, загальніше, алгебраїчні многовиди чи многовиди. Зокрема, алгебричну геометрію можна розглядати як вивчення множин розв'язків алгебричних рівнянь.

Ми вже бачили приклад множини розв'язків, що може описувати поверхню. Наприклад, при вивченні елементарної математики відомо, що множина розв'язків рівняння у вигляді ax + by = c, де а, b і c є сталими дійсними числами, а також a і b не дорівнюють нулю, утворює пряму у векторному просторі R². Тим не менш, не завжди буває так, що множину розв'язків можна легко представити — наприклад, розв'язком рівняння, що має вигляд: ax + by + cz + dw = k (a, b, c, d, і k дійсні константи) є гіперплощина.

Методи розв'язку

Методи розв'язку рівнянь, як правило, залежать від типу рівняння, як від виду виразів в рівнянні, так і від області визначення, в якій можуть приймати значення невідомі. Різноманітність можливих типів рівнянь є досить великою, і тому відповідних методів їх розв'язку також багато. Декілька конкретних типів наведено нижче.

В цілому, для окремих класів рівнянь може не існувати відомого систематизованого методу розв'язку (алгоритму), який гарантовано буде розв'язувати поставлену задачу. Це може бути пов'язано з відсутністю необхідних математичних знань на цей час; деякі математичні задачі були розв'язані тільки після багатовікових зусиль. Але це також може означати, що, взагалі кажучи, такого методу розв'язку не може існувати, адже, як відомо, деякі математичні задачі не можливо розв'язати за допомогою якогось чіткого алгоритму, наприклад, десята задача Гільберта, її нерозв'язність була доведена в 1970 році.

Для деяких класів рівнянь були знайдені алгоритми їх розв'язку, деякі з яких були реалізовані й додані до чинних систем комп'ютерної алгебри, але часто не вимагають застосування складніших підходів ніж прості розрахунки, які можна виконати за допомогою олівця та паперу. У деяких інших випадках відомі евристичні методи, що часто бувають успішними, але не гарантують успіху.

Метод перебору, метод проб і помилок, здогадка

Якщо множина розв'язків рівняння обмежена скінченною множиною (як це відбувається, наприклад, для рівнянь модульної арифметики), або може бути обмежена скінченним числом можливостей (як у випадку деяких діофантових рівнянь), то множину розв'язків можна знайти за допомогою повного перебору, тобто шляхом тестування кожного з можливих значень (розв'язків-кандидатів). Однак може трапитися така ситуація, що кількість можливостей, які слід розглядати, хоча і скінченна, але настільки величезна, що вичерпний пошук практично нездійсненний; це, по суті, є вимогою для сильних методів шифрування.

Як і у всіх інших методах розв'язання задач, іноді розв'язки можна знайти методом проб і помилок, зокрема, коли форма рівняння або його схожість з іншим рівнянням з відомим розв'язком, може привести до здогадки при розв'язку. Якщо винесене припущення при тестуванні може бути неправильним розв'язком, вивчення того, чому саме цей розв'язок зазнає невдачі, може привести до здогадки щодо правильного розв'язку.

Елементарна алгебра

Рівняння, що складаються із лінійних або простих раціональних функцій з одним дійсним невідомим, скажімо $x$ , такі як

8x+7=4x+35\quad {\text{або}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

можуть бути розв'язані за допомогою методів елементарної алгебри.

Системи лінійних рівнянь

Невеликі системи лінійних рівнянь можливо розв'язувати методами елементарної алгебри, аналогічно звичайним рівнянням. Для розв'язку великих систем використовуються алгоритми засновані на методах лінійної алгебри.

Алгебраїчні рівняння

Для алгебраїчних (поліноміальних) рівнянь до четвертого ступеня можливо знайти точний розв'язок за допомогою алгебричних методів, найпростішим прикладом є квадратична формула. Поліноміальні рівняння зі ступенем п'ять або вище вимагають загальних чисельних методів (див нижче) або спеціальних функцій, таких як корінь Бринга, хоча деякі конкретні випадки можуть бути розв'язані алгебраїчно, наприклад,

4x^{5}-x^{3}-3=0

(За допомогою теореми про раціональний корінь), і

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(За допомогою підстановки $x = z 1 ⁄ 3$ , що спрощує це квадратне рівняння в $z$ ).

Діофантові рівняння

Діофантові рівняння — це рівняння в яких передбачають, що розв'язки повинні бути цілими числами. У деяких випадках можливо застосувати метод перебору, який згадувався вище. У деяких інших випадках, зокрема, якщо рівняння має одне невідоме, можна розв'язати рівняння для раціональних багатозначних невідомих (дивитись теореми про раціональний корінь), а потім знайти розв'язки діофантового рівняння, обмежуючи множину розв'язків до множини розв'язків з цілими значеннями. Наприклад, поліноміальне рівняння

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

має раціональні розв'язки $x = - 12$ і $x = 3$ , а коли розглядається як діофантове рівняння, воно має єдиний розв'язок $x = 3$ .

Загалом, діофантові рівняння є одними з найскладніших рівнянь для розв'язку.

Обернені функції

У найпростішому випадку функції однієї змінної, скажімо, $h (x)$ , ми можемо розв'язати рівняння виду

h (x) = c

, де

c

є сталою шляхом розгляду того, що відомо як обернена функція

h

.

З огляду на функцію $h : A \to B$ , оберненою функцією, що позначається як $h -1$ та визначається як $h -1 : B \to A$ , є функція така, що

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

Тепер, якщо застосувати обернену функцію до обох частин рівняння $h (x) = c$ , де $c$ є постійною величиною в $B$ , ми отримуємо

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

і ми знайшли розв'язок рівняння. Проте, в залежності від функції, обернену функцію може бути важко знайти або вона не може бути функцією від усієї множини В (тільки на деякій підмножині) і має багато значень в якійсь точці.

Якщо потрібно знайти тільки один розв'язок, а не всю множину розв'язків, то достатньо, щоб виконувалася функціональна тотожність

h\left(h^{-1}(x)\right)=x.

Наприклад, проекція $π 1 : R 2 \to R$ , яка визначається як $π 1 (x, y) = x$ , не має будь-яких обернених функцій, але можна визначити функцію $π -1 1$ як $π -1 1 (x) = (x, 0)$ . Тому можна рівняння

π 1 (x, y) = c

розв'язується наступним чином: $(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).$

Приклади обернених функцій містять корінь $n$ -го степеня (що є оберненим до $x n$ ), логарифм (обернена до $a x$ ), обернені тригонометричні функції і W-функцію Ламберта (обернена до $xe x$ ).

Розкладання на множники

Якщо вираз лівої частини рівняння $P = 0$ можна розкласти на множники у вигляді $P = QR$ , то множина розв'язків вихідного рівняння є поєднанням множин розв'язків двох рівнянь $Q = 0$ і $R = 0$ . Наприклад, рівняння:

\mathrm {tg} \ x+\mathrm {ctg} \ x=2

можна переписати, використовуючи тотожність $\mathrm {tg} \,x\,\mathrm {ctg} \,x=1$ , наступним чином:

{\frac {\mathrm {tg} ^{2}\ x-2\mathrm {tg} \ x+1}{\mathrm {tg} \ x}}=0,

Яке можна розкласти на множники наступним чином:

{\frac {(\mathrm {tg} \ x-1)^{2}}{\mathrm {tg} \ x}}=0.

Розв'язання, таким чином, буде еквівалентне розв'язанню рівняння $\mathrm {tg} \,x=1$ , і, таким чином, є множиною:

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,k=\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots .

Чисельні методи

Іноді рівняння, що зустрічаються при розв'язку практичних задач, не мають точного аналітичного розв'язку. При розв'язку складних рівнянь дійсних або комплексних змінних, прості методи розв'язку рівняння можуть зазнати невдачі. В таких випадках приходять до ітеративних методів пошуку наближеного значення. Можуть бути використані такі методи як метод простої ітерації, метод Ньютона-Рафсона, або інші чисельні методи для пошуку наближеного числового розв'язку рівняння, якого для деяких застосувань, може бути цілком достатньо.

Матричні рівняння

Рівняння, що включають матриці і вектори дійсних чисел часто можуть бути розв'язані за допомогою методів лінійної алгебри.

Диференціальні рівняння

Існує величезна кількість методів розв'язування різних видів диференціальних рівнянь, як чисельним, так і аналітичним способами. Конкретний клас задач, які розглядаються в цьому напрямку належить до інтегрування, і аналітичні розв'язки такого роду задач тепер називають символьним інтегруванням. Розв'язки диференціальних рівнянь можуть бути неявними або явними[1].

Примітки

Dennis G. Zill (15 березня 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

Див. також

Сторонні і відсутні розв'язки
Система рівнянь
Прирівнювання коефіцієнтів
Розв'язування геодезичних рівнянь
Уніфікація (інформатика) — розв'язування рівнянь між символьними виразами

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 березня 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.